圧電解析では何を計算しますか？

圧電材料は、力を加えると電荷が生じ、電圧をかけると変形します。圧電解析では、構造の運動方程式と電荷の式（ガウスの法則）を連成させて、電圧に対する変形、力に対する電圧、共振周波数などを計算します。アクチュエータ、センサ、超音波振動子、エネルギーハーベスタの設計に使われます。

積層アクチュエータの変位と力はどれくらいですか？

PZT-5H（d33 = 593 pC/N）で厚さ0.1 mmの層を100枚重ね、150 Vをかけると、自由変位は d33·V·n = 8.9 μmです。5 mm角・長さ10 mmの素子の剛性は約1.2×10⁸ N/mなので、ブロッキング力（変位を0に押さえる力）は約1,070 N。実際の負荷がアクチュエータと同じ硬さなら、変位は半分の4.4 μmになります。

圧電センサの出力電圧はどれくらいですか？

電圧定数 g33 = d33/ε33 は、PZT-5Hで約19.7×10⁻³ V·m/Nです。厚さ1 mmの円板に1 MPaの圧力をかけると、開放電圧は g33·t·σ ≒ 19.7 V、10 kPaでは0.2 Vです。ただし実際の出力はケーブルや増幅器の容量で分圧されるので、回路も含めて計算します。

圧電解析

カテゴリ: 連成解析・電磁-構造 | 2026-10-01 改稿

理論：力と電気がつながった材料

概要

🙋

圧電素子の解析は、普通の構造解析と何が違うんですか？

🎓

圧電材料では、ひずみと電界、応力と電気変位が互いに結びついている。電圧をかけると伸び、押すと電荷が出る。だから構造の変形と電気の状態を一緒に解かなければならない。大事なのは電気の境界条件で、電極を短絡しているか、開放しているかで、同じ素子でも硬さが変わる。開放すると、変形で生じた電荷が電界を作り、その電界が変形に逆らうので、素子は硬くなる。アクチュエータでは負荷の硬さで実際の変位が決まり、センサでは回路の容量で出力が決まる。まずは1次元の式で、どれくらいの大きさになるかを押さえよう。

圧電の構成式

$$ S = s^E T + d^{\mathsf T} E,\qquad D = d\,T + \varepsilon^T E $$

S はひずみ、T は応力、E は電界、D は電気変位。s^E は電界一定（短絡）での弾性コンプライアンス、d は圧電定数、ε^T は応力一定（自由）での誘電率。

アクチュエータとセンサの式

$$ x_0 = d_{33} V n,\qquad k_a = \frac{A}{s_{33}^E L},\qquad F_b = k_a x_0,\qquad x = x_0\frac{k_a}{k_a + k_L},\qquad V_{oc} = g_{33}\,t\,\sigma,\quad g_{33} = \frac{d_{33}}{\varepsilon_{33}^T} $$

PZT-5Hの値：d33 = 593 pC/N、s33^E = 20.7×10⁻¹² m²/N（ヤング率48 GPa）、比誘電率 ε33^T/ε₀ = 3,400、電気機械結合係数 k33 = 0.75。

Coffee Break よもやま話

キュリー兄弟の発見

圧電効果は1880年、ピエールとジャックのキュリー兄弟が水晶などの結晶で発見した。翌年には、逆に電圧をかけると変形する逆圧電効果が理論的に予言され、すぐに確かめられた。第一次世界大戦中にランジュバンが水晶を使った水中音波の送受信器を作り、ソナーの始まりとなった。1950年代にチタン酸ジルコン酸鉛（PZT）のセラミックスが見つかって大きな圧電定数が得られ、着火装置、ブザー、超音波診断、インクジェットなどに広がった。

計算例

例1：積層アクチュエータ（0.1 mm×100層、5 mm角、150 V）

項目	値
長さ	10 mm
電界	1.5 kV/mm
自由変位	8.89 μm
剛性	1.21×10⁸ N/m
ブロッキング力	1,074 N
静電容量	0.75 μF
1 kHz・150 Vの正弦波駆動のピーク電流	0.71 A

負荷の剛性（アクチュエータ比）	実際の変位
0.1	8.09 μm
1	4.45 μm
10	0.81 μm

例2：センサと電気の境界条件

項目	値
電圧定数 g33	19.7×10⁻³ V·m/N
厚さ1 mm・1 MPaの開放電圧	19.7 V
厚さ1 mm・10 kPaの開放電圧	0.20 V
開放時と短絡時のコンプライアンスの比（1 − k33²）	0.438（開放で2.3倍硬い）

🙋

電極を開放するだけで2倍以上硬くなるなんて、解析で間違えやすそうですね。

🎓

その通りで、よくある間違いだ。PZT-5Hのように結合係数 k33 が0.75と大きい材料では、電気の状態で機械的な性質が大きく変わる。短絡なら電荷が逃げるので材料本来のやわらかさになり、開放なら電荷がたまって電界が変形に逆らう。そのため共振周波数も変わり、短絡のときの共振（共振周波数）と開放のときの共振（反共振周波数）の差から、結合係数を測ることができる。解析では、電極を電圧固定にするか、浮かせた導体にするか、回路を接続するかを、実際の使い方に合わせて決める必要がある。センサの解析で電極を接地のまま計算すると、電圧は0になり、剛性も過小評価してしまう。

解析の進め方

材料定数（s^E、d、ε^T、またはその変換形）を、異方性の向き（分極方向）に合わせて入力する。
電極を等電位面として定義し、電圧固定・浮遊・回路接続を使い分ける。
1次元の式で変位・力・電圧の大きさを確かめる。
モード解析で共振と反共振の周波数を求め、結合係数を確かめる。
大きな電界では非線形やヒステリシスがあるので、使用範囲を確かめる。

Coffee Break よもやま話

「位置決めが半分しか動かない」

ある精密な位置決め台で、圧電の積層アクチュエータに定格電圧をかけても、台の変位はカタログの自由変位の半分ほどしかなかった。アクチュエータの仕様を確かめると、自由変位は負荷のない状態の値だった。台を支える板ばねと台の構造の剛性を計算すると、アクチュエータとほぼ同じ硬さで、変位はちょうど半分になるはずだった。ばねを柔らかくし、アクチュエータを長いものに変えて、必要な変位を確保した。

よくある間違い

間違いと対策

間違い	起きること	対策
自由変位をそのまま使う	変位を過大評価	負荷の剛性を入れる
電極を接地のまま	センサ電圧が0	浮遊導体・回路
分極方向を誤る	符号や大きさを誤る	座標系を確認
短絡と開放の定数を混同	剛性・共振を誤る	E 一定と D 一定を区別
駆動電流を見積もらない	電源が不足	容量から電流を計算

🙋

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