Voronoi図 — CAE用語解説
Voronoi図
Voronoi図とは何か
Voronoi図ってメッシュ生成で出てきますが、どういう概念なんですか？
空間に複数の点（母点）を置いたとき、各母点に最も近い点の集合を領域として分割したものがVoronoi図だ。例えば10個の都市があったとき、それぞれの都市から最も近い地点の集合で国土を分割するイメージだ。各領域の境界は隣り合う2つの母点を結ぶ線分の垂直二等分線になる。
それがメッシュ生成とどう関係するんですか？
Voronoi図とDelaunay三角分割は双対関係にある。Delaunay三角分割の各三角形の外接円の中心を結ぶとVoronoi図ができる。メッシュ生成では品質の良い三角形・四面体を作るためにDelaunay法が使われるが、その理論的背景としてVoronoi図が登場する。
ポリヘドラルメッシュと実用
ポリヘドラルメッシュとVoronoi図は関係ありますか？
密接に関係している。3次元のVoronoi図の各セルがそのままポリヘドラル要素になる。OpenFOAMのsnappyHexMeshやSTARCCMのポリヘドラルメッシュはVoronoi的な考え方をベースにしている。多面体要素は四面体より少ない要素数で高精度な解析ができるので、CFDで注目されている。
そんな数学的な概念が実際のメッシュソフトに使われているんですね。
そうだ。さらにVoronoi図はメッシュ生成以外にも、点群データからサーフェスを再構成するPointCloud処理や、骨格構造の最適化（ラティス設計）の距離場計算にも使われている。幾何学の基本概念が多分野に橋渡ししているいい例だ。
Delaunay三角分割との違いをもう少し教えてもらえますか？
Delaunay三角分割は「各三角形の外接円の内部に他の点が入らない」という条件で三角形を繋ぐ方法で、細長い三角形が少なくなるという嬉しい性質がある。Voronoi図はその双対なので、数学的には対で学ぶのが理解の近道だ。
関連用語
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