拡張Lagrangian法で乗数が発散する原因は何ですか？

ペナルティパラメータε_Nを接触面の局所剛性（E/h）に対して大きすぎる値に設定すると、乗数の更新が不安定になり、振動・発散を引き起こします。具体的には、2010年代のNastran SOL 401ユーザーから、乗数が10サイクルで±10⁸まで振動するという報告が複数ありました。

拡張Lagrangian法の収束不安定を防ぐにはどうすればいいですか？

主な対策は2つです。1つは、ペナルティパラメータε_Nを接触面の局所剛性（E/h）の1/10以下に抑えること。もう1つは、外部ループの収束判定にギャップ残差ノルム基準を追加することです。これにより、乗数の振動発散はほぼ確実に回避できます。

Nastran SOL 401で接触解析が発散する場合の設定は？

拡張Lagrangian法を使用している場合、ペナルティパラメータ（ε_N）の値を見直してください。接触面の局所剛性（ヤング率E/要素厚さh）に対して大きすぎると、乗数が発散（例：10サイクルで±10⁸まで振動）する可能性があります。ε_Nを局所剛性の1/10以下に設定し、収束判定にギャップ残差ノルムを加えることを推奨します。

接触解析のペナルティパラメータの適切な値は？

拡張Lagrangian法を用いた接触解析では、ペナルティパラメータε_Nは接触面の「局所剛性」（材料のヤング率Eを要素厚さhで割った値：E/h）を基準に決めます。経験則として、局所剛性の1/10以下に設定することで、乗数の更新が安定し、発散を防げます。これに加え、外部ループ収束判定にギャップ残差ノルムを用いることが有効です。

Augmented Lagrangian法 — トラブルシューティングガイド

カテゴリ: 構造解析 | 2026-02-20

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CAE visualization for augmented lagrange troubleshoot - technical simulation diagram

Augmented Lagrangianのトラブル

🎓

外側ループが収束しない → $k_p$を上げる or ペナルティ法に切り替え

計算が遅い → 外側ループの最大反復数を減らす（2〜3回でも効果あり）

ペナルティ法と結果が大きく異なる → 貫通がペナルティ法で大きかった。Augmented Lagrangeの結果が正確

Coffee Break よもやま話

乗数更新発散の対処

拡張Lagrangian法の落とし穴は、ペナルティε_Nを大きく設定しすぎると乗数更新が振動発散することだ。2010年代のNastran SOL 401ユーザーから「乗数が10サイクルで±10⁸まで振れる」という報告が複数あった。対策はε_Nを接触面の局所剛性（E/h）の1/10以下に抑えること、かつ外部ループ収束判定にギャップ残差ノルム基準を加えることで、ほぼ確実に回避できる。

トラブル解決の考え方

「解析が合わない」と思ったら

まず深呼吸——焦って設定をランダムに変えると、問題がさらに複雑になる
最小再現ケースを作る——Augmented Lagrangian法の問題を最も単純な形で再現する。「引き算のデバッグ」が最も効率的
1つだけ変えて再実行——複数の変更を同時に行うと、何が効いたか分からなくなる。科学実験と同じ「対照実験」の原則
物理に立ち返る——計算結果が「重力に逆らって物が浮く」ような非物理的な結果なら、入力データの根本的な間違いを疑う

Augmented Lagrangian法 — トラブルシューティングガイド

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