パラメータ設定
E=200 GPa（鋼）を仮定。r=√(I/A)、I=EI/E。
許容応力 vs 細長比
オイラー曲線 Johnson曲線 圧縮限度 現在の λ
理論・主要公式
$$L_e = K\,L,\qquad P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$
$$\lambda = \frac{K L}{r},\qquad r = \sqrt{I/A}$$
$L_e$：有効長 (m)、$P_{cr}$：座屈荷重 (N)、$\lambda$：細長比、$r$：回転半径 (m)。鋼構造目安では $\lambda<20$ 短柱、$20\le\lambda<100$ 中間柱（Johnson式）、$\lambda\ge100$ 長柱（オイラー式）。
柱の有効長とは
🙋
「有効長」って何ですか？ 柱の長さって普通に測ればわかりますよね？
🎓
実長は確かに測れるんだけど、「座屈に対する強さ」を考えるときは、両端の支持条件で「事実上の長さ」が変わるんだ。例えば両端固定の柱は、両端ピンの柱と比べて半分の長さの柱と同じくらい強い。だから有効長係数Kを掛けて Le=KL とするんだよ。スライダーで K=0.5 にしてみて、座屈荷重が4倍になるのが確認できるはずだ。
🙋
なるほど！ K=2.0 の片持ちは逆にすごく弱くなるんですね。なんでこんなに差が出るんですか？
🎓
座屈モードの「波形の半波長」がKで決まるからだ。両端ピンなら半波1個ぶんが柱全体だけど、両端固定なら波が両端で「拘束」されて半波長が短くなる。逆に片持ちは自由端で大きく曲がれるから半波長が伸びる。座屈荷重は半波長の2乗に反比例するから、Kの2乗で効いてくるんだ。
🙋
右下のグラフの「中間柱（Johnson）」ってのは何ですか？
🎓
オイラー式は弾性座屈の式で、太短い柱に使うと現実より過大評価になるんだ。だから λ<100 くらいの中間柱には Johnson の二次曲線で補正する。さらに λ<20 だと座屈より先に降伏が起こるから、その領域は単純な圧縮限度で頭打ちにする。スライダーで L を変えると λ も変わるから、3つの領域を実感できるよ。
物理モデルと主要な数式
柱の弾性座屈はオイラー式 $P_{cr}=\pi^2EI/(KL)^2$ で表され、有効長 $L_e=KL$ により全ての支持条件が両端ピンと同等の問題に帰着できる。細長比 $\lambda=L_e/r$（$r=\sqrt{I/A}$）が大きい長柱ではこの式が成立する。一方、中間柱には Johnson の放物線式 $\sigma_{cr}=\sigma_y[1-\sigma_y\lambda^2/(4\pi^2 E)]$ が用いられ、短柱では単純な圧縮降伏 $\sigma_{cr}=\sigma_y$ で押さえる。
実世界での応用
鉄骨建築：ラーメン構造の柱は柱頭・柱脚の接合詳細によって K=0.7〜1.2 程度に取る。地震時の層間変形を許す場合はさらに大きな K が用いられる。
橋梁の橋脚：橋脚は下部が基礎で固定、上部が桁の支点（ピンまたはローラ）となるため K=2.0 に近い片持ち挙動になる。風や地震荷重に対する設計は座屈との二重チェックが必要。
機械装置のロッド：油圧シリンダのピストンロッドは両端の継手構造で K=0.7〜2.0 まで大きく変わる。同じ材料・断面でも継手次第で許容ストロークが倍違うことがある。
足場・仮設構造：建設現場の単管パイプはクランプ接合で「半固定」となり、安全側に K=1.0 で評価することが多い。
よくある誤解と注意点
「固定」を理想化しすぎない：実構造で完全固定が実現することはほぼなく、ボルト接合は接触面の回転自由度を持つ。AISC設計ではこれを反映して K=0.65（理想0.5）、K=0.80（理想0.7）と少し大きめの推奨値が採用されている。
弱軸方向を見落とす：H形鋼や箱形断面は強軸と弱軸でIが大きく違う。両軸とも λ を計算し、大きい方（弱軸座屈）で設計するのが鉄則。
初期不整の影響：実構造には製造公差・据付誤差による初期たわみがあり、Pcrの90%程度で座屈が始まることもある。安全率2〜3を見込むのが標準。
よくある質問
座屈荷重は K の2乗に反比例するため、K=0.5（両端固定）は K=1.0（両端ピン）の4倍、K=2.0（片持ち）は K=1.0 の1/4の座屈荷重になります。つまり両端固定と片持ちでは同じ柱でも荷重耐力が16倍も違います。
遷移細長比 λc=π√(2E/σy) はオイラー式とJohnson式の交点で、降伏応力σyの半分に当たる細長比です。鋼（E=200GPa, σy=250MPa）では λc≈125、アルミ（E=70GPa, σy=270MPa）では λc≈71 となり、材料ごとに異なります。
回転半径r=√(I/A)が小さいと細長比λ=KL/rが大きくなり、座屈に弱くなります。同じ断面積でも中空円管や箱形断面はrが大きく、中実丸棒よりずっと座屈に強くなります。
看板の支柱、街灯、煙突、橋脚など、根元だけが固定された片持ち柱が該当します。K=2.0となり同じ実長の両端ピン柱の1/4しか座屈荷重がないため、断面を大きく取る必要があります。