参数设置
假设E=200 GPa（钢）。r=√(I/A)，I=EI/E。
许用应力 vs 细长比
欧拉曲线 Johnson曲线 压缩限度 当前 λ
理论与主要公式
$$L_e = K\,L,\qquad P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$
$$\lambda = \frac{K L}{r},\qquad r = \sqrt{I/A}$$
$L_e$：有效长 (m)、$P_{cr}$：座屈荷载 (N)、$\lambda$：细长比、$r$：回转半径 (m)。钢结构中通常以 $\lambda\lt 20$ 为短柱、$20\le\lambda\lt 100$ 为中间柱（Johnson式）、$\lambda\ge100$ 为长柱（欧拉式）分类。
柱的有效长是什么
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物理长度确实可以直接测量，但考虑到"对座屈的抵抗力"时，两端的支持条件会改变"实际的长度"概念。比如两端固定的柱，其对座屈的抵抗力相当于两端销接柱长度的一半。所以用有效长系数K来修正，得到有效长Le=KL。试试把K改为0.5，你会看到座屈荷载增加4倍。
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原来如此！K=2.0的悬臂柱变得特别弱了。为什么会这样？
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这是因为座屈模式的"波长"由K决定。两端销接时，一个半波正好对应整个柱长。两端固定时，波被两端约束，半波长变短。悬臂柱自由端能自由弯曲，半波长反而变长。座屈荷载与半波长的平方成反比，所以K的影响是平方关系。
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右下图中的"中间柱（Johnson）"是什么意思？
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欧拉公式是弹性座屈的理论，用在太短的柱上会过高估计。所以对λ在100左右的中间柱，要用Johnson的二次曲线来修正。当λ<20时，座屈前就会发生屈服，这部分就用简单的压缩强度来限制。改变L的值，你能看到细长比λ变化，三个区域都会显现。
物理模型和主要公式
柱的弹性座屈用欧拉公式表示为 $P_{cr}=\pi^2EI/(KL)^2$，其中有效长 $L_e=KL$ 使得所有支持条件都可归结为两端销接的问题。细长比 $\lambda=L_e/r$（$r=\sqrt{I/A}$）越大，长柱座屈越容易。中间柱采用Johnson抛物线公式 $\sigma_{cr}=\sigma_y[1-\sigma_y\lambda^2/(4\pi^2 E)]$，短柱则限制在压缩屈服 $\sigma_{cr}=\sigma_y$。
实际应用
钢结构建筑：框架结构的柱根据柱顶、柱脚接合设计不同，K值通常取0.7～1.2。允许较大层间变形时K值会更大。
桥梁墩柱：桥墩下部由基础固定，上部由桥梁支座（销接或滚轮）支撑，因此接近K=2.0的悬臂状态。需要对风和地震荷载同时检查座屈。
机械装置杆件：液压缸的活塞杆根据接头设计方式，K值范围从0.7到2.0，相同截面的许可冲程差异可达2倍。
脚手架和临时构筑：建筑工地的单管脚手架通过卡具半刚接，通常用K=1.0进行安全评估。
常见误区和注意事项
不要过度理想化"固定"：实际结构中很难实现完全固定，螺栓接合通常有接触面回转自由度。AISC设计规范采用K=0.65（而非理想的0.5）和K=0.80（而非理想的0.7）等修正值。
别忽视弱轴方向：H形钢或箱形截面的强轴和弱轴二次矩差异很大。两个方向都要计算λ，用较大值（弱轴座屈）来设计。
考虑初始缺陷的影响：实际结构存在加工公差和安装偏差导致的初始挠度，座屈可能在Pcr的90%左右就开始。通常需要考虑2～3倍的安全系数。
常见问题
座屈荷载与K的平方成反比。K=0.5（两端固定）是K=1.0（两端销接）的4倍，K=2.0（悬臂）是K=1.0的1/4。因此两端固定和悬臂的同一柱子，荷载耐力相差16倍。
过渡细长比 λc=π√(2E/σy) 是欧拉公式和Johnson公式的交点，对应屈服应力的一半处。对钢铁（E=200GPa，σy=250MPa）约为125，对铝合金（E=70GPa，σy=270MPa）约为71，不同材料各异。
回转半径r=√(I/A)越小，细长比λ=KL/r越大，柱越容易座屈。同样的截面积，空心圆管或箱形截面的r更大，比实心圆棒更抗座屈。
广告牌支柱、街道路灯、烟囱、桥梁墩柱等根部固定、顶部自由的悬臂柱都属于此类。K=2.0意味着座屈荷载只有相同实长的两端销接柱的1/4，所以必须采用更大的截面。