パラメータ設定
プロセスゲイン K
—
RHP零点時定数 T_z
s
第1極時定数 T_1
s
第2極時定数 T_2
s
PI制御ゲインは K_c = 0.3, T_i = 5 s に固定。シミュレーション時間 0〜30 s、刻み dt = 0.05 s。T_1 ≈ T_2 のときは近接極の数値処理が入ります。
計算結果
—
反転負ピーク y_min
—
反転時刻 t*
—
最終値 y(∞) = K
—
5% 整定時間 t_s
開ループステップ応答 y_ol(t)（リアルタイム）
出力（赤）はステップ直後に目標と逆向き（下）へ動き、その後 K へ整定します。これが右半平面零点の指紋です。灰色破線＝零点なしの1次応答 K(1−e^(−t/T_1))／青破線・緑破線＝逆応答を合成する「速い負経路」「遅い正経路」／黄点＝負ピーク y_min・反転時刻 t*。
PI制御による閉ループ応答 y_cl(t)
青＝閉ループ出力 y_cl(t)／灰色破線＝目標値 r = 1。K_c=0.3, T_i=5 s 固定。逆応答が一時的に目標と反対方向へ振れる様子に注目。
理論・主要公式
RHP零点を含む2次プロセスの伝達関数：
$$G(s) = \frac{K\,(-T_z\,s + 1)}{(T_1\,s + 1)(T_2\,s + 1)},\quad T_z\gt 0$$ステップ入力に対する時間応答（T_1 ≠ T_2 の場合）：
$$y(t) = K + \frac{K}{T_2 - T_1}\left[(T_1 + T_z)\,e^{-t/T_1} - (T_2 + T_z)\,e^{-t/T_2}\right]$$初期傾き（t=0+）は負：
$$\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0^+} = -\frac{K\,T_z}{T_1\,T_2} \lt 0$$経験的な閉ループ帯域の上限（RHP零点による制約）：
$$\omega_{BW} \lesssim \frac{1}{2\,T_z}$$$T_z$ が大きいほど初期傾きが急になり、反転深さが大きくなります。逆に $T_z$ が小さいと反転は浅く、ほぼ通常の1次応答に近づきます。