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非ニュートン流体シミュレーター

冪乗則流体 シミュレーター — 非ニュートン流体の Ostwald-de Waele モデル

Ostwald-de Waele 冪乗則 $\tau = K\,\dot{\gamma}^{n}$ に基づき、せん断応力 $\tau$、見かけ粘性 $\mu_{\text{app}}$、円管内見かけ Reynolds 数を実時間計算します。稠度係数 $K$、冪指数 $n$、せん断速度 $\dot{\gamma}$、流体密度 $\rho$ をスライダーで変えて、shear-thinning（擬塑性）／Newtonian／shear-thickening（ダイラタント）の流動曲線と速度プロファイルを比較可視化します。

パラメータ設定
稠度係数 K
Pa·sⁿ
冪指数 n
せん断速度 γ̇
1/s
流体密度 ρ
kg/m³

円管内見かけ Re には直径 $D = 10$ mm、平均速度 $U = 1$ m/s を仮定。$\mu_{\text{app}} = K\,\dot{\gamma}^{\,n-1}$、$Re_{\text{app}} = \rho U D / \mu_{\text{app}}$。

計算結果
—
せん断応力 τ
—
見かけ粘性 μ_app
—
流体タイプ
—
見かけ Re（D=10mm, U=1m/s）
流動曲線 τ vs γ̇（log-log）

横軸＝$\log_{10}\dot{\gamma}$（1/s）／縦軸＝$\log_{10}\tau$（Pa）／複数の冪指数 $n$（0.3／0.5／0.7／1.0／1.3／1.7）での $\tau(\dot{\gamma})$ 曲線を重ね描き／黄●＝現在の $(\dot{\gamma},\tau)$。傾きが $n$、切片が $\log K$ に一致します。

円管内速度プロファイル u(r)

軸対称の円管断面（半径 $R$）／横軸＝半径方向位置 $r/R$／縦軸＝正規化速度 $u/u_{\max}$／$u(r) = u_{\max}\left[1 - (r/R)^{(n+1)/n}\right]$／n=1 で放物線、n < 1 で平坦化、n > 1 で尖鋭化します。

理論・主要公式

Ostwald-de Waele 冪乗則（$K$ は稠度係数 Pa·sⁿ、$n$ は冪指数、$\dot{\gamma}$ はせん断速度 1/s）：

$$\tau = K\,\dot{\gamma}^{\,n}$$

見かけ粘性は $\mu_{\text{app}} = \tau/\dot{\gamma}$ なので、ニュートン流体（n=1）では $\mu_{\text{app}} = K$ で一定、それ以外ではせん断速度に依存します：

$$\mu_{\text{app}} = K\,\dot{\gamma}^{\,n-1}$$

円管層流の速度プロファイル（$R$ = 内半径、$u_{\max}$ = 中心線速度）：

$$u(r) = u_{\max}\left[1 - \left(\dfrac{r}{R}\right)^{(n+1)/n}\right]$$

円管内見かけ Reynolds 数（直径 $D$、平均速度 $U$、流体密度 $\rho$）：

$$Re_{\text{app}} = \dfrac{\rho\,U\,D}{\mu_{\text{app}}}$$

$n < 1$＝shear-thinning（擬塑性）／$n = 1$＝Newtonian／$n > 1$＝shear-thickening（ダイラタント）。本ツールの既定値（$K = 1$ Pa·sⁿ、$n = 0.5$、$\dot{\gamma} = 10$ 1/s）では $\tau = \sqrt{10} \approx 3.16$ Pa、$\mu_{\text{app}} = 10^{-0.5} \approx 0.316$ Pa·s、$Re_{\text{app}} \approx 31.6$ となります。

冪乗則流体（Ostwald-de Waele モデル）とは

🙋
レオロジーの教科書で必ず出てくる「冪乗則流体」って、結局どんな流体なんですか？
🎓
ざっくり言うと、せん断応力 $\tau$ とせん断速度 $\dot{\gamma}$ の関係が直線じゃなくて、$\tau = K\,\dot{\gamma}^{n}$ という冪乗で結ばれる流体だよ。$K$ は粘性の大きさを決める稠度係数、$n$ は冪指数で、$n$ がちょうど 1 だとニュートン流体（水・空気）になる。$n < 1$ で擬塑性（shear-thinning）、$n > 1$ でダイラタント（shear-thickening）。このツールの既定値（$K = 1$ Pa·sⁿ、$n = 0.5$、$\dot{\gamma} = 10$ 1/s）では $\tau = \sqrt{10} \approx 3.16$ Pa、見かけ粘性 $\mu_{\text{app}} \approx 0.316$ Pa·s が「計算結果」に出ているのが確認できる。
🙋
「shear-thinning」って具体的に何が嬉しいんですか？身近にある流体ですか？
🎓
ペンキ・血液・ケチャップ・シャンプー・ヨーグルトはみんな shear-thinning だ。ペンキを刷毛で塗るとき、ゆっくり持ち上げると垂れない（低 $\dot{\gamma}$ で高粘性）、強く刷くと滑らかに広がる（高 $\dot{\gamma}$ で低粘性）。この性質がないと、ペンキは塗れないし血液はサラサラ流れない。スライダーで $n$ を 0.3 にして、流動曲線の傾きが緩やかになる（=せん断速度を上げても応力があまり上がらない=見かけ粘性が下がる）のを見てみて。
🙋
逆に $n > 1$ のダイラタントは？
🎓
代表例はデンプン水溶液（オーボレック）。ゆっくり指を入れると沈むけど、叩くと固体のように跳ね返す。$\dot{\gamma}$ を上げるとコロイド粒子が「ハイドロクラスター」を組み、見かけ粘性が急増する。スライダーで $n = 1.7$ にすると、流動曲線が急峻に立ち上がるのが見える。応用としては、衝撃を吸収する液体装甲材料の研究もあるよ。
🙋
速度プロファイルの形が n で大きく変わるのはなぜですか？
🎓
円管層流の解は $u(r) = u_{\max}\left[1 - (r/R)^{(n+1)/n}\right]$。$n = 1$ で指数は 2、つまり放物線（Hagen-Poiseuille 流）。$n < 1$ では指数が 2 より大きくなり、中心部が平坦化して壁近くで急変する「プラグ流的」な分布になる。$n > 1$ では指数が 2 未満になり、中心がより尖って壁付近のせん断が弱まる。下のキャンバスで $n$ を変えて確認してみて、押出成形や血管内血流の理解に直結する重要な性質だ。

よくある質問

Ostwald-de Waele は両端で物理的に破綻するからです。低 $\dot{\gamma}$ では $\mu_{\text{app}} = K \dot{\gamma}^{n-1}$ が無限大に発散し（$n < 1$）、現実の高分子溶液で観測されるゼロせん断粘度 $\mu_0$ を再現できません。高 $\dot{\gamma}$ では逆に $\mu_{\text{app}}$ が 0 に近づき、限界粘度 $\mu_\infty$ も再現できません。実プロセスのせん断速度域（典型 1〜1000 1/s）の中だけで近似モデルとして使うのが定石です。広範囲を一度にカバーしたい場合は Carreau モデル（$\mu = \mu_\infty + (\mu_0 - \mu_\infty)[1 + (\lambda\dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$）や Cross モデルが用いられます。
本ツールが表示する見かけ Re は壁面せん断速度 $\dot{\gamma}_w$ における $\mu_{\text{app}}$ を使った単純な定義で、層流域の概算には十分ですが乱流遷移点を正確に予測できません。Metzner-Reed の一般化 Reynolds 数 $Re_{\text{gen}} = \rho U^{2-n} D^n / [K\,((3n+1)/(4n))^n\,8^{n-1}]$ は冪乗則流体の Hagen-Poiseuille 解から導出されており、ニュートン流体と同じ 2100 程度を遷移点として使えます。実務 CFD では Fluent や OpenFOAM が内部で一般化 Re を計算するので、本ツールの値はあくまで初期検討用と考えてください。
温度上昇は熱運動を活発化させ、高分子鎖の絡み合いを解くため、$K$ は概ね Arrhenius 型 $K(T) = K_0 \exp(E_a / RT)$ で減少します。活性化エネルギー $E_a$ は典型 20〜50 kJ/mol で、10°C 上昇で粘性が 2〜3 割下がる材料が多い。一方、冪指数 $n$ は温度依存性が比較的弱く（±0.05 程度）、室温〜成形温度の範囲ではほぼ一定とみなすことが多いです。射出成形のシミュレーションでは、温度依存 $K(T)$ と独立な冷却モデルを組み合わせ、流動先端の凍結を予測します。
Ostwald-de Waele は降伏応力をもたない 2 パラメータモデルです。降伏応力 $\tau_y$（応力がこれを超えるまで流れない）をもつ流体には Bingham（$\tau = \tau_y + \mu_p \dot{\gamma}$、線形）または Herschel-Bulkley（$\tau = \tau_y + K \dot{\gamma}^n$、冪乗）を使います。フレッシュコンクリート・歯磨き粉・ドリリングマッドは降伏応力をもつため、Ostwald-de Waele では下端の挙動が外れます。$\tau_y$ が無視できるくらい小さい（または $\dot{\gamma}$ が常に高い）プロセスでだけ、Ostwald-de Waele で十分です。

実世界での応用

高分子・プラスチック成形：ポリエチレン・ポリプロピレン溶融体は典型的に $K = 10^3 \sim 10^5$ Pa·sⁿ、$n = 0.3 \sim 0.6$ の強い shear-thinning を示します。射出成形では金型ゲート部のせん断速度が $10^3 \sim 10^4$ 1/s に達し、見かけ粘性は 100 倍下がるため流動性が確保されます。本ツールで $K = 100$、$n = 0.4$、$\dot{\gamma} = 1000$ 1/s を入れると、見かけ粘性がオーダーで下がるのが見て取れます。流動解析（Moldflow、Moldex3D）は内部でこのモデルとパラメータを使います。

食品・化粧品工業：ケチャップは $n \approx 0.3 \sim 0.5$、ヨーグルトは $n \approx 0.5 \sim 0.7$、シャンプーは $n \approx 0.5 \sim 0.8$。容器からの絞り出しやすさ、刷毛・スポンジでの塗布感覚、口当たり（食品官能評価）はすべて冪指数で決まります。製品設計時はレオメーターで $K, n$ を測定し、目標感触に合うよう増粘剤・乳化剤を調整します。本ツールで $n$ を 0.3 と 0.8 に切り替えて、速度プロファイルが平坦化と尖鋭化でどう変わるかを比べてみてください。

血液レオロジー（バイオメカニクス）：血液は赤血球の凝集と変形によって弱い shear-thinning を示し、典型的に $K \approx 0.01 \sim 0.1$ Pa·sⁿ、$n \approx 0.7 \sim 0.9$。大動脈の高せん断域では水に近い粘性で流れ、毛細血管の低せん断域では粘性が増します。動脈瘤や狭窄部の血流 CFD ではこのモデルが標準で、せん断応力の壁面分布から血栓形成リスクを予測します。本ツールの円管プロファイル機能で、$n = 0.8$ と $n = 1.0$（ニュートン近似）の違いを確認できます。

ドリリングマッド・地熱流体：石油・地熱井の掘削で使うドリリングマッドはベントナイト懸濁液で、典型的に $n \approx 0.4 \sim 0.7$。掘削屑（カッティングス）を地表まで運搬する能力（hole cleaning capability）は流動先端の速度プロファイルに依存し、$n$ が小さいほど平坦化して輸送効率が上がります。一方、ポンプ動力は高 $\dot{\gamma}$ 域の見かけ粘性で決まるため、$K$ と $n$ のバランスが現場の最適化指標になります。

よくある誤解と注意点

最も多い誤解は、「$n < 1$ なら必ず shear-thinning だから、どんな低せん断でも粘性が下がる」と考えることです。実際の高分子溶液には「ゼロせん断粘度プラトー」が存在し、$\dot{\gamma} < 0.01$ 1/s 程度では粘性は一定値 $\mu_0$ に落ち着きます。Ostwald-de Waele は数学的に $\dot{\gamma} \to 0$ で $\mu_{\text{app}} \to \infty$ となるため、低せん断域の解析に使うと CFD ソルバーが発散します。OpenFOAM の powerLaw クラスでは `nuMin` / `nuMax` でクリップする必要があり、本ツールでも $\dot{\gamma} = 0.1$ 1/s を最小値としているのはこの理由です。実プロセスの $\dot{\gamma}$ レンジでのみ有効と考えてください。

次に多いのが、「冪指数 $n$ を測れば流体の挙動はすべて決まる」という思い込みです。$n$ は局所傾きであって、せん断速度レンジを変えると $n$ も変わります。例えばあるポリマー溶液で 1〜10 1/s では $n = 0.5$、100〜1000 1/s では $n = 0.7$ になることもあります。Ostwald-de Waele は対象プロセスのせん断速度域で局所フィットするのが正しい使い方で、「カタログの $n$ がそのまま全範囲で使える」と思い込むと、ゲート部とランナー部で予測が大きく外れます。複数の $\dot{\gamma}$ 域を含むプロセスでは Carreau モデルが標準です。

最後に、「Ostwald-de Waele の見かけ Re で乱流遷移を 2100 で判定できる」という誤解です。冪乗則流体の乱流遷移点は $n$ に依存し、$n = 0.5$ では Metzner-Reed の一般化 Re で 2400 前後、$n = 1.5$ では 1800 前後と変化します。本ツールの見かけ Re（局所 $\mu_{\text{app}}$ を使う）は教育目的で示しており、実務の遷移判定には Metzner-Reed 式や Ryan-Johnson の修正を使ってください。$n$ をスイープ（再生ボタン）すると、同じ $K$・$\dot{\gamma}$・$\rho$ でも見かけ Re が桁で動くのが直感的に理解できます。

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