計算式選択
入力変数の不確かさ
モンテカルロ設定
理論・主要公式
$$u_c^2(y) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u^2(x_i)$$
合成不確かさ（独立変数）：偏微分係数（感度係数）の二乗和平方根
$$U = k \cdot u_c(y)$$
拡張不確かさ：$k$ 包含係数（$k=2$ で約95%の信頼区間）
$$\frac{u(y)}{y} \approx \sqrt{\sum_i \left(a_i \frac{u(x_i)}{x_i}\right)^2}$$
相対不確かさの伝播（べき乗則）：$y=\prod x_i^{a_i}$ の場合
不確かさ伝播・モンテカルロ解析とは
🙋
「不確かさ伝播」って何ですか？CAEの結果って、一つの答えが決まって出てくるのではないんですか？
🎓
大まかに言うと、「入力が少し揺れると、答えはどれくらい揺れるか」を評価する手法だよ。現実の材料強度や荷重はバラつくよね。例えば自動車の衝突シミュレーションで、板厚や材料の強度が設計値から±5%ずれたら、乗員の傷害値はどれくらい変わる？それを統計的に予測するのが不確かさ伝播だ。このシミュレーターでは、上の「カスタム式」に計算式を入れて、入力変数のバラつきを設定して試せるよ。
🙋
え、そうなんですか！でも、計算が複雑すぎたら「揺れ」を計算するのも大変じゃないですか？
🎓
そこで2つの代表的な手法が出てくる。一つはGUM法で、計算式を線形近似して解析的に不確かさを求める方法。もう一つがこのツールの目玉、モンテカルロ法だ。これは、入力値をそのバラつきに従ってランダムに何千回もサンプリングし、その都度計算して結果の分布を見る、いわば「力技」のシミュレーションだ。上のパラメータで分布タイプを「正規分布」や「一様分布」に変えて、サンプル数を増やすと結果がどう収束するか、実際に動かして確かめてみよう。
🙋
なるほど！2つの方法で結果が違ったら、どっちを信じればいいんですか？あと、トルネードチャートって何を見ればいいんですか？
🎓
良い質問だ。GUM法は線形近似なので、計算式が強い非線形性（例えば $y = x^3$ みたいな）を持つと誤差が出る。だから、両者の差が大きい時は、実際のサンプリングに基づくモンテカルロ法の結果を優先するんだ。トルネードチャートは、どの入力変数のバラつきが最終結果に最も効いているかを一目で教えてくれる。棒が長い変数（感度が高い変数）の精度を上げれば、結果の不確かさを効率的に減らせる。逆に棒が短い変数にコストをかけても効果は薄い。設計や計測計画を立てる上で特に重要な情報なんだ。
よくある質問
GUM法は線形近似と正規分布を前提に合成不確かさを計算します。一方、モンテカルロ解析は入力分布から乱数を多数生成しシミュレーションするため、非線形モデルや非正規分布でも正確な結果が得られます。計算負荷は高いですが、複雑な系に適しています。
実測データや仕様書の公差、過去の実験結果に基づき、標準偏差や分布形状（正規分布、一様分布など）を設定します。データが不足する場合は、専門家の判断や文献値を参考に、保守的な範囲で仮定してください。
一般的には数千〜数万回が推奨されます。出力の収束状況を確認しながら増やし、結果のヒストグラムや平均・標準偏差が安定したら十分です。高精度が必要な場合は10万回以上行うこともあります。
結果のばらつき範囲から最悪ケースや信頼区間を把握し、安全率の見直しやロバスト設計に役立てます。感度の高いパラメータを特定すれば、製造公差の管理や実験計画の優先順位付けが可能です。
実世界での応用
自動車・航空機の安全性評価： 衝突や疲労強度のシミュレーションにおいて、材料特性（ヤング率、降伏応力）、板厚、溶接強度、荷重条件などの製造バラつきや使用環境の変動を入力不確かさとして設定します。モンテカルロ解析により、車体の変形量や寿命がどの範囲に分布するかを予測し、「99%の確率で安全基準を満たす」といった確率的な設計保証を行うために利用されます。
製造プロセス・公差設計： 機械部品の組み立て精度をCAEで検討する際、各部品の加工公差を入力不確かさとして扱います。トルネードチャートから最終的な組み立て誤差に最も寄与する部品（感度の高い寸法）を特定し、その部品の公差を厳しくするなど、コストと性能のバランスの取れた公差設計を最適化します。
計測システムの校正計画： 複数のセンサーから得られた測定値から物理量を推算する場合（例えば、複数のひずみゲージ値から応力を計算する）、各センサーの校正不確かさが最終的な推算精度にどう影響するかを不確かさ伝播で評価します。感度の高いセンサーの校正頻度を上げるなど、効率的な計測品質管理に活用できます。
材料開発・創薬における予測モデルの検証： 材料の特性を分子シミュレーションなどで予測するモデルにおいて、入力パラメータ（力場パラメータ、初期構造など）の不確かさが予測結果に与える影響を定量化します。実験値とシミュレーション結果を比較する際、不確かさの範囲を考慮することで、モデルの信頼性をより厳密に評価することが可能になります。
よくある誤解と注意点
まず、「サンプル数はとりあえず1000回でいいだろう」という考えは危険です。確かに計算は速くなりますが、結果の分布の裾（特に信頼区間の95%や99%の端っこ）が全然収束せず、重大な過小評価を生むことがあります。例えば、破壊確率のような低確率事象を評価する場合、少ないサンプルでは一度もその事象が発生せず、「リスクはゼロ」という誤った安心感を与えてしまいます。目安として、まずは1万回で実行し、主要な統計量（平均、標準偏差）が2万回、5万回と変わりなくなるか確認する「収束性の確認」が必須です。
次に、入力変数は独立と仮定していいのか？という根本的な問いを忘れがちです。例えば、材料のヤング率と降伏応力は、同じバッチの材料なら正の相関があるかもしれません。無関係と仮定してランダムに振ると、現実にはありえない「ヤング率は低いが強度は異常に高い」といった組み合わせが生まれ、結果の分布を歪める可能性があります。可能な限り、変数間の相関係数についての知見を調査し、ツールで相関を設定できる場合はそれを反映させましょう。
最後に、「モンテカルロ法は何でも正確にできる魔法の杖」という過信。入力の確率分布（正規分布なのか、一様分布なのか、それとも歪んだ分布なのか）の設定が、全ての出発点です。この設定が現実を反映していなければ、何百万回サンプリングしても意味のある結果は得られません。例えば、製造公差が±0.1mmなら一様分布が近いですが、磨耗による寸法変化は正規分布に近いかもしれません。まずは入力の不確かさをどう定量化するか、計測データや仕様書としっかり向き合うことが肝心です。