電気双極子・磁気渦・重力井戸など7種のベクトル場を矢印グリフと色で可視化。キャンバスをクリックすると流線をトレース。カーソル位置の発散と回転をリアルタイムで確認できます。
キャンバスをクリックして流線をトレース
$$\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\,\mathbf{i} + Q(x,y)\,\mathbf{j}$$
2次元ベクトル場：各点に大きさと方向をもつベクトルを割り当てる
$$ abla imes \mathbf{F} = \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}$$
2次元回転（渦度）：渦の強さと向きを表すスカラー場
$$ abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$$
発散：流体の湧出し・吸込みの強さを表す（非圧縮流れでは0）
ベクトル場の基本的な性質を特徴づけるのが「発散」と「回転」です。2次元ベクトル場 $\vec{F}= (F_x, F_y)$ に対して、発散は以下のスカラー量で定義されます。
$$\text{div}\, \vec{F}= \nabla \cdot \vec{F}= \frac{\partial F_x}{\partial x}+ \frac{\partial F_y}{\partial y}$$ここで、$\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})$ はナブラ演算子です。発散が正の点は「ソース」（湧き出し）、負の点は「シンク」（吸い込み）を表します。発散がゼロの場（例えば「磁気渦」）は、湧き出しも吸い込みもないことを意味します。
2次元における回転（正確にはz成分）は、その点での渦の強さを表すスカラー量として定義されます。
$$\text{curl}_z \, \vec{F}= (\nabla \times \vec{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x}- \frac{\partial F_x}{\partial y}$$この値が正なら反時計回り、負なら時計回りの回転を意味します。流体力学ではこれが渦度（ヴォーティシティ）に、電磁気学では電流密度に比例する重要な量です。
流体力学（CFD）：自動車や航空機の周りの空気の流れ（速度場）を解析します。発散がゼロ（非圧縮性）の条件は連続の式そのものです。翼の後端に発生する渦（高い回転）は抗力や揚力に直結するため、流線可視化は設計の必須ツールです。
電磁気学：電界や磁界は典型的なベクトル場です。電荷がある点では電界の発散がゼロではなくなり（ガウスの法則）、電流があるところでは磁界に回転が生じます（アンペールの法則）。モーターやトランスの設計では磁界分布の可視化が重要です。
構造力学：材料内部の応力状態は「応力テンソル」で表され、その主応力の方向をベクトル場として可視化できます。発散や回転の概念は、力のつり合い方程式や適合条件式の中に現れます。
地球物理学：大気や海洋の流れ、地殻内の応力場、地球内部のマントル対流など、地球規模の現象をベクトル場としてモデル化し、その発散（収束・発散域）や回転（渦）を解析することで、気象予報や地震予知の研究に役立てています。
このツールを使い始めるとき、いくつか勘違いしやすいポイントがあるから気をつけてね。まず、「矢印の長さ＝ベクトルの絶対値」だけど、見やすさのために自動でスケーリングされているということ。重力井戸の中心付近は理論上、無限大に近い値になるけど、ツール上では最大長でクリップされている。だから、絶対値の比較はカラーマップで確認するのが確実だ。例えば、電気双極子の電荷近くの色が真っ赤になっている場所が、実際に場が最も強い領域だよ。
次に、「発散や回転の値は、計算する範囲（微分のΔx）に依存する」という点。ツールはカーソル位置の周囲の数ピクセルから数値微分で計算している。だから、非常に鋭い変化を持つ場では、カーソルを1ピクセル動かしただけで値が大きく変動することがある。実務でCAEソフトを使うときも、メッシュの粗さがこれらの微分値の精度を決めるということは常に頭に入れておこう。
最後に、2D表示の限界を理解しておくこと。このツールはあくまで2次元のスライスを可視化している。現実の物理現象はほとんどが3次元だ。例えば、画面いっぱいに広がる一様な流れ（一様場）でも、実は奥行き方向に渦が巻いている「らせん流」かもしれない。2Dで発散ゼロに見えても、3Dでは $ \frac{\partial F_z}{\partial z} $ の項があって、全体では非ゼロなんてことはよくあるんだ。