ヘルツ接触理論（球−平面） — トラブルシューティング

以下の順で確認する。

1. 接触の初期状態: 球と平面が初期にわずかに重なっている（overclosure）か、離れすぎていないか確認。初期ギャップが大きいと接触検出ができない

2. 荷重ステップの分割: 最終荷重の1/10から始めて段階的に増やす。AbaqusではStep内のInitial/Maximum incrementを小さく設定

3. 接触安定化: *CONTACT CONTROLS, STABILIZE で微小な粘性ダンピングを追加し収束を助ける。最終結果で安定化の影響がないことを確認

4. 要素タイプ: HEX8は接触面でチャタリング（接触/非接触の振動）が起きやすい。HEX20に切り替える

接触縁の節点が反復計算中にopen/closedを繰り返す現象だ。これが収束を妨げる最大の要因。surface-to-surface離散化（node-to-surfaceではなく）を使うと改善される。Abaqusでは*CONTACT PAIR, INTERACTION=... の TYPE=SURFACE TO SURFACE を指定する。

いくつかの原因が考えられる。

• メッシュ不足: 接触面内に最低10要素が必要。5要素以下では半楕円分布がギザギザに離散化される
• ペナルティ法の影響: ペナルティ係数が小さいと侵入量が大きくなり面圧が過小になる。ラグランジュ法に切り替える
• 球面の幾何精度: CADの球面がファセット化されていると接触が不均一になる。二次要素（HEX20）の中間節点を球面上に正確に配置する

非常に重要だ。HEX20の中間節点が辺の正確な中点にある（直線辺）のと、球面の正確な位置にある（曲線辺）のとで、接触面の幾何精度が全く異なる。Abaqusの*SURFACE, TYPE=ELEMENT で curved elements を有効にするか、メッシュ生成時に中間節点を正確な曲面上に配置することで改善する。

反力 $P$ と近づき量 $\delta$ をHistory出力で記録し、両対数プロットで傾きが1.5になるか確認する。最小二乗法でフィットし、指数 $n$ を算出する。理論値は$n = 1.5$で、$n = 1.48 \sim 1.52$ が許容範囲。

この指数のチェックは個別の値（$a$、$p_0$）の比較より堅牢だ。メッシュ粗さの影響を受けにくく、接触アルゴリズム全体の妥当性を示す指標になる。