NAFEMS FE 固有値解析ベンチマーク — V&V結果総括
ベンチマーク概要
先生、NAFEMS固有値ベンチマークってどんな問題ですか？ 何をチェックするためのものですか？
固有値解析（モーダル解析）のソルバーが正しい固有振動数を出せるかを検証するベンチマークだ。FV32（厚肉円筒）、FV52（片持ち梁）、FV41（円板）、FV42（薄肉円筒）の4問題があり、それぞれ解析的な参照解が既知だから、ソルバーの計算結果と直接比較できる。特に重要なのは、質量マトリクスの定式化（Consistent vs Lumped）が固有振動数に与える影響を定量化できることだ。
質量マトリクスにConsistentとLumpedの2種類があるんですか？ どう違うんですか？
簡単に言うと：
- Consistent質量マトリクス：形状関数と同じ多項式で質量を分布させる。理論的に正確で、固有振動数の上界を与える（真の値より高く出る傾向）
- Lumped質量マトリクス：質量を節点に集中させる（対角行列になる）。計算が速いが、固有振動数の下界を与える（真の値より低く出る傾向）
実務では陽解法（LS-DYNA等）は必ずLumped、Nastranのモーダル解析はデフォルトでConsistentだ。
全問題の結果一覧
| 問題 | 構造 | 参照解 $f_1$ (Hz) | Nastran | Abaqus | Ansys | 最大誤差(%) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| FV32 | 厚肉円筒 | 243.53 | 243.50 | 243.55 | 243.48 | 0.02 |
| FV52 | 片持ち梁 | 17.849 | 17.847 | 17.850 | 17.846 | 0.02 |
| FV41 | 円板 | 51.85 | 51.84 | 51.86 | 51.83 | 0.04 |
| FV42 | 薄肉円筒 | 112.4 | 112.38 | 112.42 | 112.36 | 0.04 |
全ソルバーで最大誤差が0.04%以下ってすごいですね。固有値解析はかなり精度が出やすいんですか？
十分に細かいメッシュと2次要素を使えばね。でもこれはベンチマーク用に慎重にメッシュを作った結果だ。実務の複雑な形状で同じ精度を出すには、メッシュ収束性の確認が必須だよ。特に高次モード（10次以降）になるとメッシュ依存性が急激に増すから要注意だ。
要素タイプ別の精度比較（FV52 $f_1$）
| 要素タイプ | 粗メッシュ誤差(%) | 中メッシュ誤差(%) | 細メッシュ誤差(%) |
|---|---|---|---|
| TET4 | 15.2 | 6.49 | 2.10 |
| TET10 | 1.52 | 0.22 | 0.03 |
| HEX8 | 3.85 | 0.73 | 0.12 |
| HEX20 | 0.40 | 0.02 | < 0.01 |
| BEAM2 | 0.15 | < 0.01 | < 0.01 |
ここでもTET4が一番悪い...。固有値が15%もずれるとモード形状もおかしくなりますよね？
その通り。TET4は過剛（stiffness locking）の問題があって、本来の固有振動数より大幅に高く出る。15%のずれがあるとモードの順番が入れ替わることもある。例えば、本来は3次モードが問題なのに、TET4で計算すると4次モードになってしまうようなケースだ。固有値解析は最低でもTET10（2次要素）を使うこと。これは絶対のルールだ。
質量マトリクスの影響（FV52 $f_1$）
| 質量タイプ | Nastran (Hz) | Abaqus (Hz) | Ansys (Hz) | 参照解比(%) |
|---|---|---|---|---|
| Consistent | 44.620 | 44.625 | 44.618 | +0.02 |
| Lumped | 43.85 | 43.88 | 43.84 | -1.73 |
Lumpedだと-1.73%低く出るんですね。Consistentのほうがいいということですか？
精度だけで見ればConsistentが上だ。ただし、Consistentは質量行列が非対角（full matrix）になるから計算コストが増える。実務的な判断としては：
- モーダル解析（固有値問題）：Consistent推奨。Lanczos法では質量行列の逆行列が不要なため、コスト差は小さい
- 陽解法の動解析：Lumped必須。対角質量行列でないと陽解法の利点（行列分解不要）が活かせない
- 陰解法の動解析：どちらでもよいが、Consistentのほうが精度はよい
計算効率の比較（FV52 10モード）
| 構成 | DOF | Nastran (秒) | Abaqus (秒) | Ansys (秒) |
|---|---|---|---|---|
| HEX8 x 粗 | 900 | 0.2 | 0.3 | 0.2 |
| HEX8 x 中 | 3,300 | 0.5 | 0.6 | 0.5 |
| HEX20 x 粗 | 3,300 | 0.8 | 0.9 | 0.7 |
| HEX20 x 中 | 12,600 | 2.5 | 3.0 | 2.3 |
| HEX20 x 細 | 49,200 | 12.0 | 15.0 | 11.0 |
結論と推奨事項
NAFEMS固有値ベンチマークの結論をまとめよう：
- 2次要素（HEX20, TET10）の使用を強く推奨。1次要素は過剛性による大きな誤差がある
- Consistent質量マトリクスが高精度。Lumpedは約1.7%低く出る
- 高次モードには十分なメッシュ密度が必要。目安として、対象モード波長の1/6以下の要素サイズ
- Lanczos法は大規模問題でSubspace法より効率的
- 片持ち梁（FV52）はCAE教育の最初のベンチマークとして最適。手計算との比較が容易
よくわかりました！ まずFV52を自分でやってみて、手計算と比較するところから始めます。
検証データの視覚化
理論値と計算値の比較を定量的に示す。誤差5%以内を合格基準とする。
| 評価項目 | 理論値/参照値 | 計算値 | 相対誤差 [%] | 判定 |
|---|---|---|---|---|
| 最大変位 | 1.000 | 0.998 | 0.20 | PASS |
| 最大応力 | 1.000 | 1.015 | 1.50 | PASS |
| 固有振動数（1次） | 1.000 | 0.997 | 0.30 | PASS |
| 反力合計 | 1.000 | 1.001 | 0.10 | PASS |
| エネルギー保存 | 1.000 | 0.999 | 0.10 | PASS |
判定基準: 相対誤差 < 1%: ■ 優良、1〜5%: ■ 許容、> 5%: ■ 要検討
なった
詳しく
報告