什么是达西定律？

多孔介质中的流速与压力梯度成正比的定律，比例系数为渗透率K除以流体黏度。用于地下水、过滤、填充床、燃料电池电极等在细小孔隙中缓慢流动的场合。

渗透率怎么估算？

颗粒均匀的填充床可由粒径和孔隙率用Kozeny–Carman公式估算。孔隙率0.35时，粒径0.2 mm的细砂约为2×10⁻¹¹ m²，1 mm的粗砂约为6×10⁻¹⁰ m²。孔隙率从0.35降到0.30渗透率就约减半，所以实测最可靠。

达西定律适用到什么程度？

适用于以粒径为基准的雷诺数约1～10以下的缓慢流动。细砂、粗砂中的地下水基本成立，但砾石在水力梯度大时雷诺数可达几百，需要加入惯性阻力的Forchheimer公式。

达西流

分类：流体分析（CFD） | 2026-09-30 改写

CAE visualization for darcy flow theory - technical simulation diagram

达西流

理论：流速与压力梯度成正比

概述

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工厂场地发生漏油，要求估算它随地下水流到100 m外的水井需要几天。从哪里开始？

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先用达西定律。水在砂土孔隙中缓慢渗流时，流速与水力梯度（水位倾斜程度）成正比，比例系数由土的透水能力（渗透系数）决定。但有两点要注意：达西流速是整个截面平均的表观值，水在颗粒间实际前进的速度要除以孔隙率；另外，渗透系数因土的种类相差几个数量级。

达西定律

$$ \mathbf{u} = -\frac{K}{\mu}\nabla p, \qquad k_h = \frac{K\rho g}{\mu}, \qquad u = k_h\, i $$

$K$ 为渗透率（m²，只由多孔介质决定），$\mu$ 为黏度，$k_h$ 为水的渗透系数（m/s），$i$ 为水力梯度。地下水领域常用渗透系数，油气和工程领域常用渗透率。渗透率与流体种类无关，便于比较水和油。

渗透率估算（Kozeny–Carman）

$$ K = \frac{d^2\,\varepsilon^3}{180\,(1-\varepsilon)^2} $$

$d$ 为粒径，$\varepsilon$ 为孔隙率。该式假设为均匀球体的填充床，渗透率与粒径平方成正比，并强烈依赖孔隙率。混有细颗粒的实际土壤往往比该式预测的小。

实际流速与适用范围

$$ v = \frac{u}{\varepsilon}, \qquad Re_d = \frac{\rho\,u\,d}{\mu} $$

$v$ 为在颗粒间实际前进的速度（实际流速）。以粒径为基准的雷诺数 $Re_d$ 超过约1～10时，会加入惯性阻力，达西定律不再成立。

Coffee Break 随笔闲谈

设计喷泉供水的工程师

达西是19世纪的法国工程师，他为家乡第戎修建了引泉水的供水系统，并在城中设置了喷泉。1856年，他在报告附录中记载了让水流过装砂竖管的实验，表明流量与水位差成正比、与砂层厚度成反比。这就是达西定律的起源，他的名字也留在单位“达西”（约10⁻¹² m²）中。一份城市供水工程报告的附录，成了地下水、石油和化学工程共同的基本定律。

算例

例1：土的种类与渗透系数

按孔隙率0.35、20 ℃的水，用Kozeny–Carman公式求得：

材料	粒径	渗透率	渗透系数
细砂	0.2 mm	2.3×10⁻¹¹ m²	2.2×10⁻⁴ m/s（19 m/天）
粗砂	1 mm	5.6×10⁻¹⁰ m²	5.5×10⁻³ m/s（477 m/天）
砾石	5 mm	1.4×10⁻⁸ m²	0.14 m/s

例2：流经100 m所需天数

材料	水力梯度	达西流速	实际流速	100 m所需天数	Re_d
细砂	0.01	2.2×10⁻⁶ m/s	6.3×10⁻⁶ m/s	183天	0.0004
粗砂	0.01	5.5×10⁻⁵ m/s	1.6×10⁻⁴ m/s	7.3天	0.06
砾石	0.01	1.4×10⁻³ m/s	3.9×10⁻³ m/s	0.29天	6.9
砾石	1.0	0.14 m/s	0.39 m/s	—	689

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同样的梯度，细砂要半年，砾石却不到半天。

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粒径大25倍，渗透率就大625倍。另外，实际流速约为达西流速的3倍（1/0.35），若用达西流速计算到达时间会高估3倍——估算泄漏物质何时到达时一定要用实际流速。还有，砾石在梯度大时雷诺数达689，达西定律的前提不成立，此时要用Forchheimer方程。

例3：孔隙率误差的影响

对粗砂（1 mm），以孔隙率0.35为基准，0.30时渗透率为0.54倍，0.40时为1.75倍。孔隙率差0.05，渗透率就相差近2倍，所以公式估算只用于把握数量级，设计要用渗透试验值。截面0.5 m²、厚1 m的粗砂过滤层在1 m水位差下，流量约为166 L/min。

分析方法

CFD与地下水分析注意事项

多孔区域设置：许多CFD软件用阻力系数（渗透率的倒数）给定多孔介质，要确认单位以及是否使用表观流速。
分层差异：地层各层渗透系数相差几个数量级，只用一个平均值会漏掉经透水层的捷径。
方向差异：水平与竖直方向的渗透系数常相差10倍以上。
确认适用范围：由结果流速计算颗粒雷诺数，检查是否有超过1～10的区域。

Coffee Break 随笔闲谈

“井水位下降比预期少”

为防止地下水进入基坑，计划从周围井中抽水降低水位，实际水位却没降到预期——原因是地质调查漏掉了一层薄砾石，这种事很常见。即使只有几十厘米厚的砾石层，只要渗透系数是砂的几百倍，就会支配整个地层的透水能力。达西定律的计算很简单，但输入的渗透系数分布几乎决定了结果。要仔细阅读钻孔记录，把薄层也纳入分析。

常见错误

错误与对策

错误	后果	对策
用达西流速算到达时间	高估约3倍	用除以孔隙率后的实际流速
混淆渗透率与渗透系数	数值相差约10⁷倍	确认单位（m²与m/s）
直接用公式渗透率设计	误差2倍以上	用渗透试验确认
省略薄砾石层	漏掉流动捷径	反映钻孔记录
高速流用达西定律	低估压力损失	确认 Re_d，用Forchheimer

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我想自己计算渗透率和流速。

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可以用渗透率与达西定律工具试算渗透率和达西定律，并用达西与范宁摩擦系数与管道摩擦比较。壁面影响见Brinkman方程，应用详见填充床和地下水流动等文章。

达西流