普朗克定律
普朗克定律
理论：黑体辐射的波长分布
概述
辐射计算很多时候用σT⁴就够了吧。什么时候需要考虑普朗克定律本身？
当材料性质随波长变化时。玻璃透过可见光却不透过长波红外，涂料和金属的发射率也随波长变化，传感器和相机只看特定波段。这些场合就需要知道辐射能量按波长如何分配。我们对普朗克公式数值积分，确认总和为σT⁴，并计算常见温度下辐射集中在哪些波长。
普朗克公式
$$ E_{b\lambda}(\lambda,T) = \frac{C_1}{\lambda^5\left[\exp\!\left(\dfrac{C_2}{\lambda T}\right) - 1\right]},\quad C_1 = 3.742\times10^8\ \mathrm{W\,\mu m^4/m^2},\ C_2 = 14{,}388\ \mathrm{\mu m\,K} $$
总辐射、峰值与波段比例
$$ \int_0^\infty E_{b\lambda}\,d\lambda = \sigma T^4,\qquad \lambda_{max}T = 2{,}898\ \mathrm{\mu m\,K},\qquad F_{\lambda_1\to\lambda_2} = \frac{1}{\sigma T^4}\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}E_{b\lambda}\,d\lambda $$
对全波长积分得σT⁴，峰值波长与温度成反比。波段比例F表示该波段内辐射占总量的比例。
Coffee Break 随笔闲谈
量子的开端
1900年，德国的马克斯·普朗克找到了能解释实测黑体辐射分布的公式。推导它必须假设能量只能取hν整数倍的离散值。普朗克本人认为这只是数学技巧，但它成了量子论的起点。不接触就能测量高温物体温度的辐射温度计，也以普朗克公式为基础。
算例
例1：数值积分与σT⁴
| 温度 | 数值积分 | σT⁴ |
|---|---|---|
| 300 K | 459.3 W/m² | 459.3 W/m² |
| 1,000 K | 56.7 kW/m² | 56.7 kW/m² |
| 5,800 K | 64.2 MW/m² | 64.2 MW/m² |
例2：峰值波长
| 温度 | 例子 | 峰值波长 |
|---|---|---|
| 300 K | 室温物体 | 9.66 µm |
| 1,000 K | 发红的铁 | 2.90 µm |
| 1,500 K | 接近熔融钢 | 1.93 µm |
| 2,800 K | 白炽灯灯丝 | 1.03 µm |
| 5,800 K | 太阳表面 | 0.50 µm |
例3：波段比例
| 波段 | 温度 | 比例 |
|---|---|---|
| 可见光 0.38～0.78 µm | 2,800 K | 9.7% |
| 可见光 0.38～0.78 µm | 5,800 K | 46.6% |
| 红外热像仪 8～14 µm | 300 K | 37.6% |
| 玻璃可透过 2.7 µm以下 | 5,800 K | 97.2% |
| 玻璃可透过 2.7 µm以下 | 300 K | 0.002% |
| 4 µm以上 | 1,000 K | 51.9% |
白炽灯辐射中连一成都变不成光。玻璃让阳光进来却挡住室内热量，也是波长不同造成的。
2,800 K灯丝辐射峰值在1 µm的近红外，可见波长只是尾部的一部分。太阳5,800 K的峰值在可见光正中，所以近一半成为光。玻璃也一样：太阳光97%在2.7 µm以下能透过玻璃，室温物体辐射几乎都是比2.7 µm长的红外线，被玻璃吸收难以出去。热量这样积聚就是温室的原理。反过来，保温窗的Low-E膜反射这种长波红外线，减少热量进出。
分析中的用法
- 材料发射率或透射率随波长变化时，按波段（波段模型）计算。
- 各波段黑体辐射比例由普朗克公式积分（F函数）求得。
- 像太阳光与室温辐射这样温度相差很大时，至少分为短波和长波两个波段。
- 辐射温度计和红外热像仪要用所测波段的发射率。
- 气体辐射（CO₂、水蒸气）只发生在特定波长，需要按波长处理。
Coffee Break 随笔闲谈
“用红外热像仪测金属温度偏低”
某工厂用红外热像仪测加热金属件的温度，比热电偶读数低100 K以上。金属表面在8～14 µm长波红外的发射率只有约0.1，热像仪却一直设为0.95。在表面涂黑色耐热涂料做基准点，按基准点校准发射率后，得到了正确温度。不注意随波长变化的发射率，辐射测温会偏差很大。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 玻璃按灰体处理 | 日射与散热算错 | 两个以上波段 |
| 不区分波长发射率 | 测温偏差很大 | 用测量波段值 |
| 单位混淆（µm与m） | 结果差几个数量级 | 确认常数单位 |
| T⁴代入摄氏度 | 辐射量大错 | 用绝对温度 |
| 气体按灰体处理 | 燃烧炉中误差 | 光谱模型 |
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相关页面参考斯特藩-玻尔兹曼定律、光谱辐射、基尔霍夫定律、太阳辐射和角系数。
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