贴片天线设计与电磁场仿真
理论与物理
什么是贴片天线
贴片天线也用在手机里面吗？
GPS天线正是贴片天线。只需在介质基板上形成薄金属贴片，就能实现低剖面、低成本、易于量产。在5G毫米波频段，会将其用作相控阵天线。
诶，那种像薄板一样的东西就是天线吗？我还以为是像偶极天线那样的棒状形象……
粗略地说，它是在接地导体上放置介质基板，然后在上面粘贴大约半波长的金属贴片。结构简单，因此可以直接在PCB（印刷电路板）的蚀刻工序中制造。它被广泛应用于GPS接收机、Wi-Fi接入点、车载雷达、卫星通信终端等各个地方。
原来如此！但是那么薄的话，在性能方面没有缺点吗？
你注意到了关键点。贴片天线最大的弱点是带宽窄。典型的矩形贴片相对带宽只有1~5%左右。另外增益也最多只有6~9dBi左右，无法获得像抛物面天线那样的高增益。但是其薄型、轻量、成本、量产性的优势是压倒性的，带宽问题通常通过设计技巧或阵列化来应对，这是实际工作中的常用手段。
谐振频率与边缘效应
天线的频率是由贴片的大小决定的吧？计算公式是怎样的？
矩形贴片天线基本模式（TM₁₀）的谐振频率，首先要从计算有效介电常数开始。对于贴片宽度 $W$：
这里 $\varepsilon_r$ 是基板的相对介电常数，$h$ 是基板厚度。贴片边缘的电场会溢出到基板外部（边缘效应），因此电学上的贴片长度比物理长度 $L$ 要长。这个延长量 $\Delta L$ 可以用Hammerstad公式近似：
用这个计算有效贴片长度和谐振频率：
$\Delta L$ 实际上有多大呢？是可以忽略的程度吗？
完全不能忽略。例如，设计一个使用FR-4基板（$\varepsilon_r = 4.4$，$h = 1.6$ mm）的2.45GHz Wi-Fi天线时，$\Delta L$ 大约为0.7mm左右。在贴片长度约29mm的基础上，两端总共1.4mm的修正量，计算下来谐振频率会偏移约5%。在GHz频段，5%的偏移是致命的，所以不考虑边缘效应的修正根本不行。
输入阻抗与腔体模型
贴片天线的输入阻抗怎么计算呢？必须匹配到50Ω对吧？
有一种思路叫做腔体模型。将贴片和接地平面之间的空间视为“没有墙壁的薄谐振器”。上下是金属壁（PEC），侧面是开放端（磁壁PMC近似）。贴片边缘（$x = 0$ 和 $x = L$）的两个缝隙作为辐射源工作。
贴片边缘的辐射电导 $G_1$ 为：
包含两个缝隙间的互电导 $G_{12}$ 后，贴片边缘的输入阻抗（电阻分量）为：
这个值通常较高，为150~300Ω。要匹配到50Ω系统，需要将馈电点向贴片中心方向移动（缝隙馈电）。缝隙距离 $y_0$ 处的输入电阻为：
哦，是随 $\cos^2$ 变化的啊！那么只要适当选择 $y_0$ 就能精确匹配到50Ω了。
没错。例如，如果 $R_{\text{in}}(\text{edge}) = 200$Ω，那么 $\cos^2(\pi y_0 / L) = 50/200 = 0.25$，所以 $y_0 / L \approx 0.33$。实际工作中，先用传输线模型或腔体模型求出初始值，最终调整则通过全波仿真进行。因为边缘效应、表面波、馈电结构的影响仅靠解析公式是无法完全捕捉的。
辐射方向图与方向性
贴片天线的辐射方向图是什么形状的呢？
基本模式（TM₁₀）的矩形贴片，在宽边方向（垂直于基板的方向）辐射最大。因为有接地平面，所以背面几乎没有辐射。E面（贴片长度方向）和H面（贴片宽度方向）的形状不同：
E面（$\phi = 0$）的辐射方向图：
H面（$\phi = 90°$）的辐射方向图：
方向性大致为：
增加贴片宽度就能提高方向性吗？
H面的波束宽度会变窄，所以方向性会提高。但是 $W$ 过大，会激励起高次模式（如TM₀₂等），导致方向图变乱。实际工作中，通常将 $W$ 控制在 $W \approx \lambda_0 / (2\sqrt{\varepsilon_r}) \times 1.0 \sim 1.5$ 的范围内。如果需要更高的增益，阵列化是常规做法。
带宽的估算
我知道贴片天线带宽窄，但能事先估算出大概有多窄吗？
以VSWR $\leq 2$ 为基准的相对带宽，可以从腔体模型的Q值来估算。总Q值 $Q_T$ 是辐射Q值 $Q_r$、导体损耗Q值 $Q_c$、介质损耗Q值 $Q_d$ 的调和平均值：
辐射Q值的估算：
相对带宽（VSWR $\leq 2$）：
也就是说，增加基板厚度 $Q_r$ 就会降低，带宽就会变宽对吧？
正确。增加基板厚度 $h$，Q值会降低，带宽会变宽。但是有代价。基板变厚会激励起表面波模式（TM₀、TE₁等），导致辐射效率下降或阵列中单元间耦合增加。作为参考，如果 $h < 0.02 \lambda_0$，表面波的影响就很轻微。使用低介电常数基板（$\varepsilon_r \leq 2.5$）也是扩大带宽的常用方法。
GPS接收天线采用贴片天线的理由
车载导航仪和智能手机的GPS接收机中搭载的天线，几乎都是贴片天线。理由是其薄而平，可以直接印刷在基板上。接收GPS卫星信号（L1频段 1.575GHz）需要右旋圆极化（RHCP）特性，通过将正方形贴片的对角略微切割（切角）或设置两个馈电点来实现圆极化。这种“仅需一点非对称性”就能产生圆极化的设计之妙，没有分析的话很难直观理解，但通过仿真观察电流分布的动画，旋转的电流矢量便一目了然。
腔体模型的物理图像
- 贴片 = 无盖的谐振箱：将贴片与接地平面之间的空间视为薄谐振器。上下表面是PEC（理想导体），四个侧面是开放的（磁壁PMC近似）。电磁波从侧面泄漏出去形成辐射。
- TM₁₀模式：在贴片长度方向（$L$方向）形成半波长驻波的基本谐振模式。两端的缝隙（开放端）同相辐射，因此在宽边方向相互增强。
- 边缘效应 = 电场的溢出：贴片边缘的电场并非在物理边缘处突然终止，而是会缓慢溢出到基板外部。因此电学上的贴片长度比物理尺寸长 $2\Delta L$。
- 等效辐射缝隙：将 $x = 0$ 和 $x = L$ 的开放端视为宽度 $W$、长度 $h$ 的磁流缝隙。可以将两个相距 $L_{\text{eff}}$ 的缝隙作为阵列来计算辐射方向图。
贴片天线设计参数一览
| 参数 | 符号 | 典型值（2.45GHz Wi-Fi） | 影响 |
|---|---|---|---|
| 贴片长度 | $L$ | 约29 mm | 决定谐振频率 |
| 贴片宽度 | $W$ | 约36 mm | 影响辐射效率·阻抗 |
| 基板厚度 | $h$ | 1.6 mm | 带宽与效率的权衡 |
| 相对介电常数 | $\varepsilon_r$ | 4.4（FR-4） | 小型化 vs 带宽 |
| 损耗角正切 | $\tan\delta$ | 0.02（FR-4） | 介质损耗·效率下降 |
| 导体厚度 | $t$ | 35 μm（1 oz铜） | 导体损耗（高频时重要） |
| 缝隙距离 | $y_0$ | 约10 mm | 输入阻抗匹配 |
数值解法与实现
FEM（频域）
仿真贴片天线时，一般使用哪种方法？
最广泛使用的是频域FEM（有限元法）。Ansys HFSS是其代表，它求解每个频率下的稳态电磁场。将麦克斯韦方程组转换为时间谐波形式，求解矢量波动方程：
这里 $k_0 = \omega/c$ 是自由空间波数，$\mathbf{J}_s$ 是激励源的电流密度。将此方程转换为弱形式，并用边单元（Nedelec单元）离散化，得到以下联立方程：
$[S]$ 是旋度-旋度矩阵，$[T]$ 是质量矩阵，$\{b\}$ 是激励向量。需要在每个频率点求解复数矩阵方程。
每个频率都要解矩阵，计算成本似乎很高啊……
没错。例如，要在200个频率点计算S₁₁特性，就需要解200次矩阵方程。HFSS结合了自适应网格（自动网格细化）和快速频率扫描（ALPS: Adaptive Lanczos-Pade Sweep）来提高效率。单个贴片几分钟就能完成，但如果是64单元的相控阵，有时可能需要几个小时。
FDTD（时域）
FDTD和FEM有什么不同？
FDTD（有限差分时域法）是在Yee网格这种正交网格上，用时间步长直接求解麦克斯韦方程组。其最大的优势在于，只需一次计算输入像高斯脉冲这样的宽带信号，然后对时间响应进行FFT，就能一次性获得宽带的频率特性。
Yee算法的更新公式（$E_x$分量的例子）：
稳定性条件（Courant条件）：
正交网格的话，是不是不擅长处理贴片的倾斜形状或曲面？
很敏锐的指摘。矩形贴片与正交网格的兼容性很好，但圆形贴片或E形缝隙等形状会变成阶梯状近似，精度会下降。CST Studio Suite的PBA（完美边界近似）和子网格技术已经大大改善了这一点，但从原理上讲，FEM在处理曲面形状方面更有优势。
MoM（矩量法）
我还听说过另一种方法叫MoM……
MoM（矩量法）也称为积分方程法。它只将导体表面的电流分布作为未知数，因此不需要3D体网格，自由空间会自动被考虑进去。对于大规模阵列天线或机载天线这类开放空间广阔的问题尤其有效。
电场积分方程（EFIE）：
这里 $G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = e^{-jk_0|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}/(4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)$ 是自由空间格林函数。用RWG（Rao-Wilton-Glisson）基函数进行离散化。
但是MoM怎么处理介质基板的影响呢？
问得好。对于多层基板的情况，使用分层介质的格林函数代替空间格林函数。虽然需要索末菲积分，计算变得麻烦，但像Momentum这样的软件会在内部自动处理。与FEM或FDTD不同，它不需要空气区域的网格，因此对于薄基板上的贴片天线来说非常高效。
边单元与伪模
特意使用边单元有什么理由吗？普通的节点单元不行吗？
电磁场的FEM中使用边单元（Ne
なった
詳しく
報告