辐射方向图解析

那是天线电界强度角度分布的展示。通俗讲，就是"电磁波在哪个方向以多大强度辐射出去"的立体图。一眼就能看出主瓣的方向和宽度、旁瓣电平、零点位置。

想得太简单了。比如卫星通信的抛物面天线，旁瓣电平必须控制在$-30\,\text{dB}$以下。旁瓣太高的话，会对相邻卫星造成干扰。军用雷达更严格，如果旁瓣泄漏信号，隐身性就完全没有了。FEM分析的精度直接影响设计品质。

主要有4个指标。远场电界$\mathbf{E}(\theta,\phi)$、指向性$D$、增益$G$、半功率波束宽度HPBW。我们逐个讲解。

有的。天线最大尺寸为$D_{\max}$，波长为$\lambda$，那么远场的边界是

在这个距离以外，电磁波接近球面波，$\mathbf{E}$和$\mathbf{H}$都与$r$成反比，相互垂直，波阻抗均匀约为$\eta_0 \approx 377\,\Omega$的横向均匀波。

从天线表面电流分布$\mathbf{J}(\mathbf{r}')$推导远场电界，得到下式：

用方向图函数$\mathbf{F}(\theta,\phi)$简化表示为

关键是，$\mathbf{F}(\theta,\phi)$相当于电流分布的傅里叶变换。因此阵列天线的方向图合成可以看作"空间频率滤波"。

正是如此。等幅等相均匀分布主瓣最窄，但旁瓣只能到$-13.2\,\text{dB}$。用泰勒分布或切比雪夫分布给电流加渐进，主瓣稍微宽一点，旁瓣可以降到$-20$～$-40\,\text{dB}$。

对的。首先定义辐射强度$U(\theta,\phi)$，就是单位立体角的辐射功率：

第二个等号很重要，说明在远场$U$不依赖距离，只是纯粹的角度函数。指向性$D$就是与全向辐射体相比的"峰值聚集度"：

在环绕天线的球面$S$上对波印廷矢量进行数值积分。商用求解器比如HFSS，先把近场变换到远场（NFTF），再用辛普森法则或高斯求积在$(\theta,\phi)$网格上积分。通常$\theta$和$\phi$都取1°步长就足够精确了。

增益$G$包含了天线的损耗（导体损、介质损、表面波损等），是实际性能指标。用辐射效率$\eta$（$0 < \eta \leq 1$）表示为

比如指向性$D = 30\,\text{dBi}$的抛物面天线，如果开口效率（照明效率+溅射损+表面精度损等）$\eta = 0.55$（$-2.6\,\text{dB}$），实际增益就约$27.4\,\text{dBi}$了。

就是主瓣顶部功率下降$-3\,\text{dB}$处的两点的角度差：

比如半波长振子的E面HPBW约$78°$。而20波长口径的天线，$\text{HPBW} \approx 51\lambda/(D_{\max}) \approx 2.55°$，波束就很尖锐了。波束越尖锐，指向性越高，对远处目标的能量集中度就越好。

有几个原因。首先是干扰回避。卫星通信的ITU规范（比如ITU-R S.580）规定了旁瓣包络，$G(\theta) \leq 32 - 25\log_{10}\theta$ [dBi]必须满足，否则认证通不过。其次是杂波抑制。气象雷达的旁瓣如果拾取地面杂波，降雨量推估精度就会大打折扣。

零点是辐射功率几乎为零的方向。用零点指向技术，可以把零点故意指向干扰源，从而消除干扰。5G基地站的Massive MIMO中，还有把零点对准人体来降低SAR（比吸收率）的技术已经商用了。

大概有3种主流方法，各有所长：

实务做法是这样：微带贴片天线、导波管槽阵等有密闭区域的结构用FEM。导线天线、金属板散射这类开放区域只需离散化金属表面的用MoM。超宽带或全频段特性一次计算的话用FDTD。现在混合方法（FEM-BIE、MLFMM加速的MoM）也很主流。

思路差不多，但要解的是矢量亥姆霍兹方程：

其中$k_0 = \omega/c$是自由空间波数，$Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$是自由空间波阻抗。FEM用边元素（Nédélec元素）离散化弱形式。边元素自动保证电界切线分量的连续性，消除了节点元素会出现的虚假模式（非物理的寄生解）。

用加权余量法离散后，最终得到：

$[S]$是旋度-旋度矩阵，$[T]$是质量矩阵，$\{b\}$是励振源项。形式跟结构分析$[K]\{u\}=\{F\}$一样，但矩阵是复数且非正定。因此不能用CG法，要用GMRES或MINRES这样的迭代求解器。

FEM是把整个体积都分割网格，MoM只把金属表面上的电流分布作为未知量。电场积分方程（EFIE）是

$G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = e^{-jk_0|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}/(4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)$是自由空间格林函数。用RWG（Rao-Wilton-Glisson）基函数离散化。MoM的强项是不用给空气区域网格。导线天线、偶极子这种开放结构效率高得多。缺点是得到密矩阵，大规模问题要用MLFMM（多层快速多极子法）加速到$O(N\log N)$。

这很关键。FEM/FDTD的计算域是有限的（用ABC/PML边界封闭），直接得不到远场。因此要用近场-远场变换（NFTF）。在环绕天线的虚拟闭曲面$S'$上取出$\mathbf{E}$和$\mathbf{H}$，转换为等效电流、磁流，再做傅里叶积分。

大概5个阶段：

千万别。近场的无源成分会反射回来搞坏结果。指导原则：

偏波分量会整个反转。比如振子的E面图如果PEC/PMC用反了，$E_\theta$和$E_\phi$互换，峰值方向就偏了90°。这是菜鸟最常犯的错误。正确做法是先拿简单的振子模型验证一遍，然后再上复杂模型。

主流工具对比如下：

主瓣增益通常在$0.2$～$0.5\,\text{dB}$以内。旁瓣可能差$1$～$2\,\text{dB}$。特别是$-30\,\text{dB}$以下的低旁瓣，网格质量和边界条件微妙差别就会显著影响。用多个工具交叉验证是最保险的。

Massive MIMO是64～256素子阵列，动态成形波束。方向图分析面临3大挑战：

实际不行。业界用的是混合法。中心几素子用全波求解（HFSS/CST）得有源素子方向图，再复制到阵列各位置，与阵列因子合成。周边素子的边缘效应用子阵补正。这样计算时间削减100倍以上。

有两个热点方向：