放射模式分析
理论与物理
概述
我经常看到辐射方向图的3D图，那表示的是什么？
是天线电场强度的角度分布。简单来说，就是立体地展示“电波向哪个方向发射多少”的图。主瓣的方向和宽度、旁瓣电平、零点位置一目了然。
诶，在实际工作中那么重要吗？感觉只要知道“朝向哪里”不就行了吗？
太天真了。例如卫星通信的抛物面天线，有时要求旁瓣电平低于 $-30\,\text{dB}$。旁瓣过高会引起对相邻卫星的干扰，军用雷达如果信号从旁瓣泄漏，隐身性就全毁了。FEM分析的精度直接影响设计质量。
原来如此… 看似角度分布，实则大有文章。那么，具体用什么物理量来评估呢？
主要用四个指标来讨论：远场电场 $\mathbf{E}(\theta,\phi)$、方向性 $D$、增益 $G$、半功率波束宽度 HPBW。我们按顺序来看。
远场电场表示
首先，“远场”是从哪里开始算“远”呢？有定义对吧？
远场（far field）的边界是，设天线最大尺寸为 $D_{\max}$，波长为 $\lambda$，则
在这个距离以外的区域，电磁波接近球面波，$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 与 $r$ 成反比，且相互正交。也就是说，成为波阻抗为 $\eta_0 \approx 377\,\Omega$ 的均匀横波。
远场的电场具体怎么写呢？
根据天线上的电流分布 $\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ 推导远场电场，会得到如下形式：
将其简化，用方向图函数 $\mathbf{F}(\theta,\phi)$ 表示为
关键在于，$\mathbf{F}(\theta,\phi)$ 相当于电流分布的傅里叶变换。因此，阵列天线的方向图合成可以理解为“空间频率滤波”。
傅里叶变换！和信号处理是同样的思路呢。那是不是说，如果电流分布是矩形，方向图就会像 sinc 函数那样？
没错。等幅同相的均匀分布，主瓣最窄，但旁瓣只能降到 $-13.2\,\text{dB}$。如果用泰勒分布或切比雪夫分布对电流进行锥削，主瓣会稍微变宽，但旁瓣可以抑制到 $-20$〜$-40\,\text{dB}$。
辐射强度与方向性
知道了方向图函数，接下来就是量化“有多强”的话题了吧？
是的。首先定义辐射强度 $U(\theta,\phi)$。这是单位立体角内的辐射功率：
第二个等式中 $r$ 消失了是关键。在远场，$U$ 是与距离无关的纯角度函数。而方向性 $D$ 是与各向同性辐射体相比的“峰值方向集中度”：
$P_{\text{rad}}$ 是向所有方向辐射的总功率对吧？数值上怎么求呢？
在远场球面 $S$ 上对坡印廷矢量进行数值积分。HFSS等商用求解器会在进行近场到远场变换（NFTF）后，在 $(\theta,\phi)$ 网格上用辛普森法则或高斯求积法进行积分。通常 $\theta$ 方向 1° 间隔、$\phi$ 方向 1° 间隔就能获得足够的精度。
增益与HPBW
方向性 $D$ 我明白了。但数据手册上经常写的是“增益 $G$”吧？有什么区别呢？
增益 $G$ 是包含了天线损耗（导体损耗、介质损耗、表面波损耗等）的实际性能指标。用辐射效率 $\eta$（$0 < \eta \leq 1$）表示为
例如，即使方向性 $D = 30\,\text{dBi}$ 的抛物面天线，如果口径效率（照射效率 + 溢出损耗 + 表面精度损耗等）为 $\eta = 0.55$（$-2.6\,\text{dB}$），则实际增益约为 $G \approx 27.4\,\text{dBi}$。
HPBW（半功率波束宽度）怎么求呢？
是主瓣峰值功率下降 $-3\,\text{dB}$ 的两点之间的角度差：
例如半波偶极子天线的E面HPBW约为 $78°$。另一方面，20波长的口径天线，$\text{HPBW} \approx 51\lambda/(D_{\max}) \approx 2.55°$，变得非常尖锐。波束越尖锐，方向性越高，越能将能量集中到远距离目标上。
旁瓣与零点
旁瓣电平（SLL）越低越好吧？为什么要那么严格呢？
有几个原因。首先是干扰避免。卫星通信的 ITU 标准（例如 ITU-R S.580）规定了旁瓣包络，如果超过 $G(\theta) \leq 32 - 25\log_{10}\theta$ [dBi] 就无法通过认证。其次是杂波抑制。气象雷达的旁瓣拾取地面杂波，会大幅降低降雨量估算的精度。
零点（null）怎么使用呢？
零点是辐射功率几乎为零的方向。通过零点置零技术，可以有意识地将零点对准干扰源方向来排除干扰。5G基站的Massive MIMO中，也有将零点对准人体方向以降低SAR（比吸收率）的技术实用化。
用“极坐标图”绘制辐射方向图的理由
第一次看到辐射方向图时，很多人会疑惑为什么不用直角坐标而用极坐标（极坐标图）来显示。确实直角坐标能更精确地读取数值，但极坐标的优势在于能直观地以形状看出“以天线为中心，向哪个方向辐射多少 dB”。旁瓣、后瓣、零点的位置一目了然，设计评审时能立刻判断“这个方向图不符合 ITU 模板”，这正是极坐标的优点。实际工作中，通常用直角坐标进行精确的数值比较，用极坐标确认整体形状。
方向图函数的物理意义
- $\mathbf{F}(\theta,\phi)$（方向图函数）：远场电场的角度依赖部分。相当于电流分布的空间傅里叶变换。对于阵列天线，可以分离为单元方向图 $f_e(\theta,\phi)$ 和阵列因子 $AF(\theta,\phi)$ 的乘积（方向图乘法定理）。
- $U(\theta,\phi)$（辐射强度）：单位立体角内的辐射功率 [W/sr]。是坡印廷矢量的 $r^2$ 倍，与距离无关。各向同性辐射体时 $U_0 = P_{\text{rad}}/(4\pi)$ 为均匀值。
- $D$（方向性）：方向图峰值与平均值的比值。仅由天线的形状、电流分布决定的纯几何指标。不包含损耗。
- $G = \eta D$（增益）：包含损耗（导体损耗、介质损耗、表面波损耗、失配损耗）的可实测性能指标。单位是 dBi（相对于各向同性辐射体）或 dBd（相对于偶极子，$G_{\text{dBd}} = G_{\text{dBi}} - 2.15$）。
假设条件与适用范围
- 远场条件：满足 $r > 2D_{\max}^2/\lambda$ 的区域。在近场，$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 的比值不是 $\eta_0$，无法定义辐射方向图
- 自由空间假设：忽略地面反射、结构体散射的理想状态。实际环境中需要镜像法或全模型建模
- 时间谐波假设：$e^{j\omega t}$ 的稳态。处理UWB脉冲天线等宽带信号时，需要按频率分别计算
- 线性媒质：铁氧体基板等非线性、各向异性材料需要额外的本构关系
主要参数与单位
| 参数 | 符号 | SI单位 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 远场电场 | $\mathbf{E}$ | V/m | 按 $1/r$ 衰减 |
| 辐射强度 | $U$ | W/sr | 与 $r$ 无关 |
| 总辐射功率 | $P_{\text{rad}}$ | W | 通过球面积分计算 |
| 方向性 | $D$ | 无量纲 (dBi) | 无损耗 |
| 增益 | $G$ | 无量纲 (dBi) | 包含损耗 |
| HPBW | $\theta_{3\text{dB}}$ | 度 (°) | E面、H面不同 |
| SLL | — | dB | 相对于主瓣的比值 |
| 波长 | $\lambda$ | m | $\lambda = c/f$ |
数值解法与实现
分析方法分类
听说计算辐射方向图，除了FEM还有其他各种方法…
大致分为三种方法。各有擅长和不擅长的领域：
| 方法 | 原理 | 擅长的情况 | 计算成本 |
|---|---|---|---|
| FEM（有限元法） | 体积分割，边单元 | 复杂形状、非均匀媒质 | $O(N^{1.5})$〜$O(N^2)$ |
| MoM（矩量法） | 表面积分方程 | 金属结构体、线天线 | $O(N^2)$〜$O(N^3)$ |
| FDTD（时域有限差分法） | Yee网格时间推进 | 宽带特性、瞬态响应 | $O(N)$（每步） |
该选哪个，有点迷茫…
实际工作中的选择标准是这样的。对于贴片天线或波导缝隙阵列等包含封闭区域的结构用FEM，对于线天线或金属板散射等只需离散化开放区域的金属表面的情况用MoM，对于UWB或宽带，希望一次计算获得全频率特性时用FDTD。最近混合方法（FEM-BIE、MLFMM加速MoM）也已成为主流。
FEM公式化
用FEM求辐射方向图时，是在解什么？像结构分析那样建立 $[K]\{u\}=\{F\}$ 吗？
基本思路相同，但求解对象是矢量亥姆霍兹方程：
这里 $k_0 = \omega/c$ 是自由空间波数，$Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$ 是自由空间阻抗。FEM中，用边单元（Nédélec单元）离散化这个弱形式。边单元能自动保证电场切向分量的连续性，并能排除节点单元中出现的伪模式（非物理寄生解）。
边单元，就是说自由度在边上对吧？离散化后矩阵方程是什么样的？
用伽辽金法离散化后，最终可以写成这样：
$[S]$ 是 curl-curl 矩阵，$[T]$ 是质量矩阵，$\{b\}$ 是激励源项。与结构分析的 $[K]\{u\}=\{F\}$ 形式相同，但电磁场中矩阵是复数且非正定，这是很大的不同。不能用CG法，所以要用GMRES或MINRES。
MoM公式化
MoM（矩量法）和FEM有什么不同？
なった
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