空洞共振器的电磁场仿真
理论：金属盒中的驻波
概述
微波滤波器和加速器里都用“空腔谐振器”。一个普通的金属盒为什么会谐振？
金属壁几乎完全反射电磁波，所以波在盒内来回反射，只有满足壁面切向电场为零条件的波才能留下。和弦的振动一样，只在由尺寸决定的离散频率（模式）上强烈谐振。由于壁面损耗很小，Q值可达数千到数万，比线圈和电容组成的电路尖锐得多。
矩形空腔的谐振频率
$a$、$b$、$d$ 为内部尺寸，$m$、$n$、$p$ 为各方向的半波长数。TE 模和 TM 模允许的整数组合不同，$b < a < d$ 时最低的是 TE101 模。
Q值
$Q_c$ 来自壁面导体损耗，$Q_d$ 来自填充介质的损耗（$\tan\delta$ 为损耗角正切），$Q_{ext}$ 来自与外部电路的耦合，其中最小的决定整体Q值。$R_s$ 为表面电阻，表示电流在趋肤深度内流动引起的损耗。
催生雷达与微波炉的空腔
1940年，英国的兰德尔和布特制成了在铜块上开出一圈空腔的腔体磁控管，产生了前所未有强度的微波，大大推进了二战时期的雷达。战后，一位从事磁控管工作的工程师发现口袋里的巧克力融化了，由此促成了微波炉的开发——这个故事广为人知。微波炉的加热腔本身就是一个大的空腔谐振器，食物加热不均可以用其中的驻波模式来解释。
算例：封闭的 WR-90 空腔
模式排列
把 WR-90 波导（内尺寸 22.86 × 10.16 mm）两端封闭，构成长 $d = 30$ mm 的空腔，低阶模式如下（内部为空气）：
| 模式 | 谐振频率 |
|---|---|
| TE101 | 8.24 GHz |
| TE102 | 11.95 GHz |
| TE201 | 14.03 GHz |
| TE011 | 15.58 GHz |
| TM110 | 16.15 GHz |
填充介电常数2.1的PTFE后，所有模式都乘以 $1/\sqrt{2.1}$，TE101 降至约5.69 GHz。这就是想缩小空腔时要加入介质的原因。
铜壁决定的Q值
铜壁（电导率 $5.8\times10^{7}$ S/m）时，TE101 模的表面电阻约0.024 Ω，仅由壁面损耗决定的Q值约7,700。谐振带宽 $f/Q$ 约为1.1 MHz，相对8 GHz 非常窄。
带宽只有1 MHz，尺寸稍有偏差频率就会偏移吧。
没错。长度 $d$ 只要变化10 μm，TE101 的频率就移动约1 MHz，与带宽相当。所以实际的滤波器都装有调谐螺钉，组装后再对准频率。温度引起金属胀缩也会使频率漂移，精密用途会采用低膨胀材料或加入温度补偿结构。
本征值分析的网格收敛
TE10p 模的电场沿 $b$ 方向均匀，因此可以在 $a \times d$ 矩形上作为二维差分本征值问题求解。改变 $a$ 方向分割数 $n_x$ 时 TE101 的结果如下：
| 分割数 | TE101 频率 | 误差 |
|---|---|---|
| 4 | 8.062 GHz | −2.21 % |
| 8 | 8.198 GHz | −0.56 % |
| 16 | 8.233 GHz | −0.14 % |
| 32 | 8.241 GHz | −0.034 % |
| 64 | 8.243 GHz | −0.008 % |
分割每加倍误差约减为1/4，呈二阶收敛。对于Q值数千的谐振器，即使0.1%的频率误差也相当于带宽的数倍，所以谐振器分析需要比一般结构分析严格得多的收敛确认。
FEM分析
分析设置
- 使用棱边单元：用节点表示电场的单元会混入散度不为零的伪解（寄生模式）。电磁场本征值分析的标准做法是使用在棱边上取自由度的 Nédélec 单元。
- 损耗的处理：可以把壁面当作理想导体求本征值，再由表面电阻计算Q值；也可以在壁面施加阻抗边界条件，直接由复数本征值得到Q值。
- 指定搜索范围：给本征值求解器一个“在此频率附近搜索”的值。目标附近有简并模或相邻模时容易混淆，要用电场分布图确认模式。
- 耦合孔与探针：计入外部耦合后谐振频率略有下降，Q值也降低。滤波器设计中，要用包含耦合的频域分析确认S参数。
“分析Q值是实测的两倍”很常见
分析得到的Q值接近实测两倍的情况并不少见。常见原因有：表面粗糙度（频率越高趋肤深度越浅，凹凸使电流路径变长）、镀层电导率低于纯铜、零件接缝处电流不易流通。分析中常用降低电导率以匹配实测的“有效电导率”来修正。记录降低了多少，就能提高下一次设计的估算精度。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 用节点单元做本征值分析 | 混入伪模式 | 使用棱边单元 |
| 用粗网格判断频率 | 偏差达带宽数倍 | 确认收敛并外推 |
| 用纯铜电导率计算Q值 | 高估Q值 | 用有效电导率修正 |
| 只凭序号判断模式 | 混淆简并模式 | 用电场分布图确认 |
| 忽略温度引起的尺寸变化 | 运行中频率漂移 | 计入热膨胀评估敏感度 |
我想改变尺寸看看模式怎么变化。