寄生电感分析——电力电子中的环路电感提取与降低设计
理论与物理
概要 — 为何nH是致命的
老师，寄生电感到底有什么问题？不是只有nH级别的小值吗？值得专门用CAE来分析吗？
正是这个“区区nH”会要了命。关键在于 di/dt（电流变化率）的大小。最近SiC MOSFET的开关速度下，$di/dt$ 可达10 A/ns。此时，仅仅10 nH的寄生电感就会产生：
也就是说会产生100 V的浪涌电压。对于800 V耐压的SiC MOSFET，若母线电压为600 V，则600 + 100 = 700 V，勉强在极限内。如果寄生电感是20 nH，200 V的浪涌就会超过耐压导致器件损坏。
诶，10 nH就能产生100 V！？Si IGBT时代没这么成问题吗？
Si IGBT的di/dt最多也就1 A/ns左右。10 nH也只产生10 V的浪涌。所以过去“布线稍微长点也还行”就能应付。SiC/GaN的高速开关使得di/dt提高了10倍以上，寄生电感的影响一下子就凸显出来了。现在设计中，必须用3D FEM或PEEC法提取并最小化由汇流排或PCB导体布局形成的电流回路电感。
原来如此…因为开关速度提高了，布线形状直接影响性能的时代到来了啊。但话说回来，寄生电感到底是从哪里产生的呢？
有电流流过的地方必然产生磁场。磁场储存能量，就意味着那里存在电感。具体来说：
- 汇流排（母线） — DC+和DC-导体间距越大，回路面积越大，可达数十nH
- 功率模块内部 — 一根键合线约2〜5 nH
- PCB的过孔与走线 — 一个过孔约0.5〜1 nH
- 去耦电容的引脚 — ESL（等效串联电感）为1〜5 nH
这些合计达到数十nH的话，对SiC来说就会产生严重的浪涌电压。而且寄生电感由几何配置决定，不会出现在电路图中。所以才需要3D电磁场分析。
浪涌电压的控制方程
除了V = L・di/dt，还有其他与寄生电感相关的重要公式吗？
首先整理三个基本公式。
1. 浪涌电压（关断时）
这里 $V_{DC}$ 是母线电压，$L_{loop}$ 是整个开关回路的电感，$V_{diode}$ 是二极管的正向压降。
2. 储存的磁能
这部分能量会被吸收电路或器件的寄生电容吸收。能量过大会导致振铃延长，成为EMI的根源。
3. 振铃频率
$C_{oss}$ 是器件的输出电容。$L_{loop}$ 和 $C_{oss}$ 的LC谐振会在开关后产生数十至数百MHz的高频振铃。这常常是导致EMI超标的原因。
原来不仅关系到浪涌电压，还直接关系到EMI（电磁干扰）啊。那么减小寄生电感，对电压裕量和EMI对策两方面都有效。
没错。所以在电力电子设计中，“如何减小回路电感”是所有设计的出发点。目标值大致如下：
- Si IGBT: $L_{loop}$ < 50 nH 基本没问题
- SiC MOSFET: $L_{loop}$ < 10 nH 是目标，理想是5 nH以下
- GaN HEMT: $L_{loop}$ < 2 nH，前提是芯片级封装
部分电感与回路电感
看电感提取结果时，会看到“部分电感”和“回路电感”两种，它们有什么区别？
这是寄生电感分析中最重要的概念，要好好理解。
回路电感（loop inductance） 是定义在整个闭合回路上的物理量，是可以用VNA或阻抗分析仪实测的“真实”电感：
另一方面，部分电感（partial inductance） 是Ruehli在1972年提出的概念，是为了将电感“归属”到各个导体段而使用的数学工具：
而回路电感可以从部分电感按如下方式计算：
去路和回路越近，$M_{p,ij}$ 就越大，$L_{loop}$ 就越小。这就是“导体靠近则电感下降”的数学解释。
明白了！部分电感是为了分配到各个部件的概念，实际能测量到的只有回路电感对吧？叠层母排之所以电感低，也是因为去路和回路的互部分电感大吗？
理解得很完美。叠层母排是将厚度0.5〜2 mm的两片铜板用绝缘薄膜夹起来的结构，去路和回路的间距只有0.1〜0.5 mm。间距越窄，$M_{p,ij}$ 就越接近 $L_{p,ii}$，所以 $L_{loop}$ 会急剧减小。分立式母排是30〜50 nH，而叠层母排可以降低到3〜5 nH。
PEEC法的理论
刚才提到了部分电感，PEEC法就是使用它的手法吧？
是的。PEEC（Partial Element Equivalent Circuit）法是Ruehli与部分电感概念同时提出的方法，是寄生电感提取的主流。
基本思路是：
- 将导体分割成小段（单元）
- 计算各单元的自部分电感 $L_p$ 和电阻 $R$
- 计算单元间的互部分电感 $M_p$
- 有电介质时也计算电容系数（部分电容 $C_p$）
- 将它们组合成RLC等效电路
导体单元 $i$ 和 $j$ 之间的PEEC方程为：
写成矩阵形式：
$\mathbf{L}_p$ 是部分电感的稠密矩阵（full matrix），这是计算上的瓶颈，但好处是只需离散化导体，不需要空气区域的网格。
不需要空气区域的网格，这很方便啊！FEM的话连周围的空气区域都要划分……
对，这是PEEC法最大的优势。分析整个功率模块的汇流排和键合线时，FEM需要空气区域数百万个单元，而PEEC法只需导体本身的数万个单元。但是稠密矩阵的运算是 $O(N^2)$ 的内存和 $O(N^3)$ 的计算时间，所以对于大规模问题，必须用FMM（快速多极子法）来加速。
3D FEM公式化
PEEC法在电感提取上的优势我明白了。那FEM在什么场景下使用呢？
FEM在处理非线性材料（铁芯的B-H曲线）或复杂几何形状时能发挥威力。带磁屏蔽的汇流排，或者内置铁氧体磁芯的功率模块，FEM是首选。
公式化使用矢量磁位 $\mathbf{A}$。为了自动满足磁通连续性 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$，设 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$，由安培定律得：
这里 $\mathbf{J}_s$ 是外部电流源，右边第二项是涡流项。假设时间谐波（正弦波），则 $\partial/\partial t \to j\omega$，得到频域公式。
用边单元（Nedelec单元）离散化得：
$\mathbf{K}$ 是刚度矩阵（$\nabla \times$ 项），$\mathbf{M}$ 是质量矩阵（涡流项），$\mathbf{a}$ 是边上的自由度向量。
求解之后，怎么取出电感值呢？
主要有两种方法：
能量法（最常用）：
磁链法：
能量法是体积分，所以计算包含空气区域在内的整个区域的磁场能量。因此空气区域网格太粗的话，结果会不准确。这是用FEM提取电感时最大的注意事项。
纽曼公式 — “回路面积重要”的数学依据
要直观理解寄生电感，“回路面积”的概念是关键。两根平行导体（长度 $l$，间距 $d$，导体半径 $r$）的回路电感为：$L_{loop} = \frac{\mu_0 l}{\pi} \ln\frac{d}{r}$。将间距 $d$ 减半，$\ln$ 内的值减半，但由于是对数函数，下降并不剧烈。另一方面，像叠层母排那样面对面放置，互部分电感的抵消作用会非常高效，可以实现数量级的降低。这就是纽曼互电感公式 $M = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \oint \frac{d\mathbf{l}_1 \cdot d\mathbf{l}_2}{|\mathbf{r}_{12}|}$ 的实际应用结果。
部分电感的物理意义
- 自部分电感 $L_{p,ii}$：对应导体单元 $i$ 单独储存的磁能。单元越长、截面积越小，该值越大。键合线的寄生电感大（细+长）就是这个原因。
- 互部分电感 $M_{p,ij}$：对应单元 $i$ 和 $j$ 共享的磁能。电流同向的单元间为正，反向为负。去路和回路靠近会产生大的正 $M_p$，有助于抵消回路电感。
- 回路电感的抵消：在 $L_{loop} = \sum L_{p} - 2\sum M_{p}$ 中，$M_p$ 的总和越接近 $L_p$ 的总和，回路电感就越小。完全的同轴结构理论上可以降到零。
适用限制与注意事项
- 准静态近似：电磁波波长需远大于结构尺寸。频率超过数百MHz时，PEEC法也需要全波扩展（retarded PEEC）
- 趋肤效应：高频下电流集中在导体表面，有效截面积减小。这导致电感产生频率依赖性
- 邻近效应：相邻导体间电流分布的相互作用。在叠层母排中尤其重要
- 温度依赖性：电阻率随温度变化，但电感是几何量，几乎不依赖温度
量纲分析与典型值
| 结构 | 典型的 $L_{loop}$ | 设计目标 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 分立式汇流排 | 30〜80 nH | < 50 nH | Si IGBT时代的标准 |
| 叠层母排 | 3〜10 nH | < 5 nH | 适用于SiC模块 |
| 键合线（1根） | 2〜5 nH | — | 长度10 mm，直径300 μm |
| PCB过孔（1个） | 0.5〜1 nH | — | 厚度1.6 mm |
| GaN半导体封装内 | 0.2〜1 nH | < 0.5 nH | 基于倒装芯片 |
数值解法与实现
PEEC法的离散化
PEEC法的理论我明白了。实际是怎么离散化的呢？
基本是将导体分割为长方体的体积单元（volume filament）。假设每个单元内电流密度均匀，用纽曼公式的数值积分计算单元间的部分电感。
具体来说，单元 $i$（体积 $V_i$）和单元 $j$（体积 $V_j$）的互部分电感为：
$a_i$, $a_j$ 是各单元的截面积，$\hat{\mathbf{l}}$ 是电流方向的单位向量。
这个双重体积积分在有解析解的情况下（长方体单元且轴线平行），可以用Graver公式或Hoer-Love公式快速求值。对于任意形状，则使用高斯求积。
您刚才提到稠密矩阵是个问题吧？有 $N$ 个单元就是 $N \times N$ 的矩阵吗？
是的。内存是 $O(N^2)$，LU分解的计算量是 $O(N^3)$。$N = 10^5$（10万个单元）就需要 $10^{10}$ 的内存，基本不可能。所以Ansys Q3D等软件使用了以下加速方法：
| 方法 | 计算量 | 内存 | 概述 |
|---|---|---|---|
| FMM（快速多极子法） | $O(N \log N)$ | $O(N)$ | 用多极展开近似远场相互作用 |
| ACA（自适应交叉近似） | $O(N \log^2 N)$ | $O(N \log N)$ | 用分层矩阵进行低秩近似 |
| FFT加速 | $O(N \log N)$ | $O(N)$ | 在均匀网格上用FFT进行卷积 |
FEM能量法计算电感
请告诉我用FEM计算电感的具体步骤。
FEM能量法的步骤如下：
- 模型创建：导体+空气区域的3D模型。空气区域确保为导体的5〜10倍范围
- 激励条件：对目标回路施加已知电流 $I_0$
- 求解：计算磁场 $\mathbf{B}$
- 后处理：对整个区域的磁能进行体积分
计算互感时需要两次计算：
这里 $L_{12}$ 是回路1和回路2同时通电流时的电感，$L_1$, $L_2$ 分别是各自单独的电感。
なった
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