構造格子
理论与物理
概述
老师，结构网格到底是什么东西？它和非结构网格的区别我总是不太明白。
结构网格（structured mesh）指的是用规则排列的六面体（3D）或四边形（2D）单元填满计算域的网格。每个单元的索引可以用 $(i,j,k)$ 唯一表示。也就是说，网格点的邻接关系是隐含确定的，所以不需要特意存储连接信息。
不需要保持邻接信息，是不是意味着内存效率更高？
没错。在结构网格中，相邻单元总是 $(i\pm1, j\pm1, k\pm1)$，所以数据访问是连续的，缓存命中率高。相同单元数下，内存消耗比非结构网格少约一半，计算速度快2~3倍也不少见。
物体适合坐标系与度量
但是现实的形状是弯曲或扭曲的吧？用规则的网格怎么应对呢？
这时就要用到物体拟合曲线坐标系（body-fitted curvilinear coordinates）。它将物理空间 $(x,y,z)$ 映射到计算空间 $(\xi,\eta,\zeta)$。在计算空间中，网格是均匀的长方体，因此差分格式可以简单地书写。
坐标变换的雅可比矩阵很重要，定义如下。
这个雅可比矩阵的行列式 $|J|$ 如果为零或负值，就证明网格发生了畸变或翻转，计算会失败。
雅可比矩阵为负是什么情况？
典型情况是锐角拐角周围，或者网格线发生交叉的情况。网格生成时，在所有单元中确认 $|J| > 0$ 是铁则。
结构网格上的Navier-Stokes方程
控制方程在结构网格上形式会改变吗？
将物理空间中的Navier-Stokes方程变换到计算空间。写成守恒形式如下。
这里 $\mathbf{Q}$ 是守恒变量向量，$\hat{\mathbf{E}}, \hat{\mathbf{F}}, \hat{\mathbf{G}}$ 是包含度量项的变换后通量。
度量项具体是什么？
例如 $\hat{\mathbf{E}} = \frac{1}{J}(\xi_x \mathbf{E} + \xi_y \mathbf{F} + \xi_z \mathbf{G})$ 这样，坐标变换的偏微分系数 $\xi_x, \xi_y$ 等会乘以通量。如果这些度量项不能精确离散化，自由流守恒（freestream preservation）就会被破坏，产生虚假的数值误差。
网格间隔的等比配置
壁面附近需要加密网格吧？怎么控制呢？
基本方法是使用等比数列（geometric progression）。
这里 $\Delta s_1$ 是第一层的厚度，$r$ 是增长比（growth ratio）。$r = 1.2$ 意味着每一层都比前一层厚1.2倍。壁面侧的 $\Delta s_1$ 根据 $y^+$ 要求确定，增长比 $r$ 推荐在1.1~1.3之间。
增长比太大结果会怎样？
相邻单元间的尺寸比变得过大，截断误差会增加，数值扩散会恶化。特别是对于二阶精度格式，建议将相邻单元的体积比控制在1.2以下。
结构网格的历史——1974年Thompson-Thames-Mastin变换与BFM（边界拟合网格）的诞生
为复杂物体形状建立“边界拟合网格（Body-Fitted Mesh）”的系统化方法，是由Joe Thompson、Frank Thames和C. Wayne Mastin于1974年发表的“基于椭圆型偏微分方程的网格生成法（TTM法）”确立的。该方法通过“共形映射（Conformal Mapping）”将物理空间的复杂计算域映射到由ξ-η-ζ均匀正交网格描述的“计算空间”，在计算空间求解方程后再转换回物理空间。这使得针对任意形状（如飞机翼型、船体、发动机内流道）的结构网格生成首次变得实用，为1980年代CFD的爆炸性发展提供了可能。基于TTM法的网格生成代码GRID2D在50年后的今天仍被用于教育和研究。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。一开始水流会不稳定地喷溅，过一会儿才变成稳定的水流，对吧？描述这个“正在变化的过程”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是“只观察经过足够长时间、流动稳定之后的状态”——也就是令此项为零。计算成本会大幅下降，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂，对吧？这就是“对流”——流体的运动搬运物体的效果。暖风的暖气能到达房间角落，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快，这项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多吧？”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过把牛奶倒进咖啡后放置的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水。因为蜂蜜的粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中，对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体就会从针头有力地射出，对吧？为什么？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差产生了推动流体的力。大坝放水也是同样原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD中的“压力”多为表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么？因为比周围空气轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。此外，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，都用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——冬天房间里开了暖气，暖空气却不上升，得到这种物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数处理。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气：约1.225 kg/m³@20°C，水：约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判定指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
结构网格的生成方法
结构网格实际上是怎么生成的？
介绍三种代表性的方法。
代数方法（Transfinite Interpolation: TFI）
给定边界上的网格点分布，通过插值决定内部网格点。计算速度快，但对于复杂形状，网格质量的控制较难。
椭圆型网格生成（Elliptic Grid Generation）
求解泊松方程来配置网格点。
通过调整控制函数 $P, Q, R$，可以控制壁面附近的网格集中度和正交性。网格质量最高，但需要迭代计算，生成耗时。
双曲型网格生成
从壁面沿法线方向“生长”网格的方法。特别适用于边界层网格生成，能自然地保证壁面正交性。
该选择哪种方法呢？
实际工作中，常用混合方法：先用TFI生成初始网格，再用椭圆型求解器进行平滑。ICEM或Pointwise中这是标准工作流。
多块结构网格
复杂形状用一个块似乎不行吧…
这种情况就使用多块结构网格。将计算域分割成多个块，每个块内是结构网格，块之间通过连接面（interface）传递信息。
块之间的连接主要有两种类型。
- Conformal（匹配）: 连接面上网格点一致。无插值误差
- Non-conformal（非匹配）: 网格点不一致。需要插值
匹配的肯定更好吧？
精度方面确实如此，但对于复杂形状，为了保持匹配性，拓扑设计会变得极其困难。实际工作中，像ICEM CFD Hexa这样的块拓扑编辑器非常有用。然而，这种拓扑设计正是结构网格最大的瓶颈，即使是熟练者，生成一辆汽车规模的网格也可能需要数天到数周。
差分格式的亲和性
听说结构网格上差分法更好用，具体是怎么回事？
结构网格中网格点规则排列，因此可以自然地构建高阶精度的差分格式。例如五阶精度的WENO格式，或紧致差分法（Pade型），在结构网格上才能发挥真正价值。
在非结构网格上实现同等的高阶精度，就需要基于最小二乘法的梯度重构以及应对不等间距，计算成本会急剧上升。
所以DNS（直接数值模拟）或LES中更倾向于使用结构网格啊。
没错。学术上的高精度计算中，结构网格依然是主流。特别是对于通道流、管道流等相对简单形状的DNS，可以说结构网格是唯一选择。
O型·C型·H型网格的选用——翼型周围结构网格设计的判断基准
翼型（Airfoil）周围的结构网格中，网格拓扑的选择直接关系到精度。O型网格（围绕翼型的同心椭圆状）能均匀且高质量地解析翼型全周，可以自然地从前缘到后缘铺设连续网格。但在翼型后缘的锐角（Sharp Trailing Edge）处网格线会折叠，可能导致薄后缘的形状精度下降。C型网格（从翼前方向C字形环绕）更容易捕捉后缘的分离区域，适用于失速（Stall）分析。H型网格（矩形正交网格的变形）最简单，但翼型周围的网格质量不及O型网格。实际工作中，“以O型或C型为拓扑基础生成，远场用H型结构网格覆盖外侧”的OC-H型复合网格是翼型高精度RANS/LES的标准选择。
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