预处理共轭梯度法 — CAE术语解释

规模较小时可以用LU分解等直接法求解，但当未知数达到数百万～数千万时，直接法在内存和计算时间上都不切实际。这时就需要迭代解法，其中CG法（共轭梯度法）是对称正定矩阵的代表性迭代解法。

CG法的收敛速度取决于矩阵的条件数（最大特征值与最小特征值的比值）。有限元法的刚度矩阵通常条件数较差，无预处理时收敛较慢。预处理（Preconditioner）通过矩阵变换来改善条件数，加速收敛。ILU（不完全LU分解）和AMG（代数多重网格）是代表性的预处理方法。

ILU预处理相对通用，是多数有限元分析软件的默认选择。AMG（代数多重网格）更强大，大规模问题的收敛速度更快，但设置较复杂。商用软件通常可选择"ILUT"或"AMG"。对于非正定矩阵（非对称问题），需要切换到GMRES或BiCGSTAB。

相对残差10^-6是通常的基准，有时降到10^-4也能达到工程精度。但在循环计算（非线性·动态分析）中，每步残差会累积，可能需要10^-8或更小。实务中应根据计算时间和精度的折衷来设定。

• 迭代求解器
• 预处理
• 稀疏矩阵
• AMG（代数多重网格）
• 直接法求解器