稀疏矩阵 — CAE用语解说

用密矩阵格式存储的话就太不切实际了。100万×100万的双精度矩阵需要约7.5TB的内存。但是实际的FEM刚性矩阵99%以上都是零。每个节点只与相邻单元的节点相连，所以非零元素只在对角线附近。这种零星布满的矩阵就是「稀疏矩阵（Sparse Matrix）」，只记录非零元素的话可以压到几个GB。

最常见的是CSR（Compressed Sparse Row）格式。按行来存储：记录「非零元素的值」「对应的列号」「各行的起始位置」这三个数组。比如一个100万行的矩阵，非零元素有500万个的话，三个数组合起来也就几十MB的大小。不仅省内存，矩阵-向量乘法也能跳过零元素计算，效率大大提升。

影响很大。直接法（LU分解、Cholesky分解）在分解过程会产生「填充」现象（原本为零的位置变成非零），所以要用节点编号重排（RCM或METIS）来最小化带宽。反复法（CG法、GMRES法）不会产生填充，但前处理矩阵的选择直接决定收敛速度。

就是这样。如果给相邻节点编号相近，带宽就会变小，直接法的内存消耗和填充现象就能明显减少。商用求解器通常会自动优化编号，但懂得这个原理在故障排除时很有帮助。

带宽和CSR格式是必要的。还有直接法求解器的工作原理也值得了解。

很好啊。用Python的scipy或petsc4py亲手操作CSR矩阵，理解会更深入。spy()函数还能把非零元素分布画出来，特别推荐。