模态法瞬态响应分析（模态瞬态）
理论与物理
模态法瞬态响应是什么
老师，“模态法瞬态响应分析”和频率响应的模态法有什么区别？名字很像，但不知道做的是不是同一件事。
问得好。共同点是“通过特征模态展开来缩减问题规模”。区别在于输入和输出的领域。频率响应是求“在恒定频率持续激励下的稳态响应”。瞬态响应是求对随时间变化的任意外力——冲击、地震波、阶跃载荷——的时间历程响应。
具体在什么场景下使用呢？
举三个典型例子。(1) 火箭发射时的卫星振动——发动机推力波动在数秒内激励结构。(2) 汽车关门冲击——关门瞬间的脉冲传递到整个车体的瞬态响应。(3) 建筑的地震响应——如果在弹性范围内，可以用数十个模态预测隔震建筑的行为。这些都是“载荷随时间变化的线性问题”，模态法能发挥威力。
控制方程与模态展开
出发点是多自由度系统的运动方程：
$[M]$：质量矩阵，$[C]$：阻尼矩阵，$[K]$：刚度矩阵，$\{F(t)\}$：随时间变化的外力向量。如果是$N$自由度，就需要在每个时间步求解$N \times N$的联立方程。这就是直接法。
如果是100万自由度、1万时间步，那岂不是每次都要解100万×100万的矩阵？那太困难了……
这时模态叠加法（Mode Superposition Method）就登场了。将位移用特征模态展开：
$\{\phi_i\}$是第$i$阶特征模态振型，$q_i(t)$是模态坐标（广义坐标），$m$是采用的模态数（$m \ll N$）。将这个展开式代入运动方程，并从左边乘以$[\Phi]^T$——
利用模态的正交性，联立方程就分离了，对吧？
没错。对于质量归一化的模态，有$[\Phi]^T[M][\Phi] = [I]$，$[\Phi]^T[K][\Phi] = \mathrm{diag}(\omega_i^2)$成立。如果阻尼是比例阻尼（Rayleigh型），则$[\Phi]^T[C][\Phi] = \mathrm{diag}(2\zeta_i\omega_i)$也能对角化。结果，每个模态变成一个独立的单自由度系统：
$f_i(t) = \{\phi_i\}^T\{F(t)\}$是模态载荷（广义力）。100万自由度被缩减为30个单自由度系统——计算时间被戏剧性地缩短。
模态参与因子与有效质量
“使用多少模态才足够”是如何判断的呢？
关键就在于模态参与因子和有效质量。对于某个方向$\{d\}$（例如：X方向=[1,0,0,…]），第$i$阶模态的参与因子为：
有效质量为$M_{\mathrm{eff},i} = \Gamma_i^2$。所有模态的有效质量之和等于总质量：$\sum_{i=1}^{N} M_{\mathrm{eff},i} = M_{\mathrm{total}}$。实践中，基本规则是采用累积有效质量达到总质量90%以上的模态数。核电标准（NQA-1）和航天标准（ECSS-E-ST-32C）中也明确规定了这一90%基准。
要达到90%需要多少模态呢？
取决于结构，但建筑大约需要10~30个模态，设备/卫星需要50~200个模态，管道系统有时需要300个以上模态。管道有很多局部模态，有效质量比较分散。不过，即使增加模态数，计算时间也只是线性增加，与直接法相比仍然快得多。
与直接法的比较
| 项目 | 模态法（Modal Transient） | 直接法（Direct Transient） |
|---|---|---|
| 控制方程 | $m$个独立的单自由度系统 | 每个时间步求解$N \times N$的联立方程 |
| 计算速度（100万DOF） | 非常快（与模态数成正比） | 慢（强烈依赖于$N$） |
| 非线性对应 | 不可（接触、塑性、大变形） | 可以对应 |
| 频率范围 | 到所采用模态的最高固有频率为止 | 由时间步长决定的全频带 |
| 输出的灵活性 | 可以单独评估各模态的贡献 | 直接输出物理量 |
| 阻尼的处理 | 模态阻尼（基于比例阻尼前提） | 可以应用任意的阻尼矩阵 |
与直接法相比，模态法大概快多少？我想知道具体的数字。
对于100万自由度的模型，如果缩减到100个模态，时间积分的成本会降到$1/10{,}000$以下。当然，还要加上特征值分析的前处理成本，但总体上通常只需要直接法1/50~1/100左右的时间。但要注意——对于像冲击载荷这样高频成分占主导的问题，所需模态数会变得非常庞大，速度优势会减弱。这种情况下应该考虑直接法或显式解法。
NASA培育的模态叠加法
模态叠加法大规模应用于结构分析，始于1960年代NASA的阿波罗计划和土星V火箭开发。当时的计算机无法处理100万自由度的直接法，但通过将结构缩减到数十至数百个模态，振动分析得以实用化。Nastran的SOL 112（模态法瞬态响应）就是那个时代诞生的求解器架构的原型，至今60多年过去了，它仍然是航空航天行业的标准方法。
数值解法与实现
Duhamel积分与解析解
就算能把各模态的运动方程分离出来，那个单自由度系统要怎么解呢？
解析上可以用Duhamel积分（卷积积分）求解：
这里$\omega_{di} = \omega_i\sqrt{1-\zeta_i^2}$是阻尼固有角频率。从物理上讲，它表示“过去所有瞬间$\tau$施加的力$f_i(\tau)$，以指数形式衰减，并持续影响到现在$t$”。
能解析计算积分的情况很有限吧？像地震波这样复杂的波形……
没错。对于阶跃载荷或三角波这样的简单波形，可以有闭合形式的解，但对于实际的载荷波形，通常需要进行数值积分。
数值时间积分的实现
每个模态的时间积分是单自由度系统，所以可以用Newmark-$\beta$法或中心差分法进行标量运算。$m$个模态 × $n_t$个时间步的计算，每次计算都只是标量的加减乘除。应用Newmark法（$\beta=1/4, \gamma=1/2$的梯形法则）：
因为是单自由度，所以这是标量计算——完全不需要矩阵分解。
各模态可以并行计算吧？能用GPU加速吗？
原理上完全可以并行化。因为各模态之间相互独立。实际上，从Nastran 2023开始，已经支持模态法的GPU加速。不过在实践中，瓶颈往往不在于时间积分，而在于特征值分析和输出结果的物理坐标转换。
残余向量（RESVEC）的作用
增加模态数能提高精度我明白了，但“残余向量”是什么？求解器手册里经常出现。
这是一个非常重要的概念。模态法只使用$m$个模态，所以载荷向量$\{F\}$中无法用所采用模态表示的分量会被舍弃。残余向量（Residual Vector，RESVEC）就是将这个“被舍弃的分量”作为伪模态添加进去。
具体是怎么计算的呢？
求出载荷向量减去所采用模态贡献后的残差，并将其作为刚度矩阵的逆（静位移）来求解：
将这个$\{r\}$归一化后作为附加模态。效果非常显著，特别是载荷点附近的局部响应会得到大幅改善。Nastran的PARAM,RESVEC,YES、Abaqus的RESIDUAL MODES选项支持此功能。冲击分析时务必启用。
输出的物理坐标转换
得到模态坐标$q_i(t)$之后，实际的位移和应力怎么求呢？
物理坐标的转换是：
应力是将各模态的应力分量乘以模态坐标后叠加：$\{\sigma(t)\} = \sum_{i=1}^{m} \{\sigma_i\}\, q_i(t)$。这里有一个重要的实践技巧——对所有节点、所有时间步进行物理坐标转换会导致数据量爆炸，所以通常只对关注点（应力评估点或传感器位置）进行转换。在Nastran中，使用SET卡片来限定输出节点。
与输出数据爆炸的斗争
100万自由度 × 1万时间步 × 6个应力分量 = 6000亿个浮点数。双精度下是480GB。模态法计算可能很快结束，但输出环节可能出问题。某航天器制造商的工程师曾感叹“分析3分钟，后处理30分钟，复制输出文件2小时”。合理的做法是只保存模态坐标$q_i(t)$，在后处理时只对需要的部分进行物理坐标转换。
实践指南
模态数的确定方法
有效质量90%作为基准我明白了，但在实践中如何确定模态数，请再具体一些。
判断标准有三个。(1) 有效质量90%以上——这是最低要求。(2) 载荷的频率带宽——对输入载荷进行FFT，求出包含99%能量的最高频率$f_{\max}$，采用其$1.5\sim2$倍固有频率以内的模态。(3) 与直接法的比较验证——用小规模模型与直接法结果进行比对，事先估算所需的模态数。
比如火箭卫星整流罩分离的冲击分析呢？
整流罩分离要求大约2000Hz以内的带宽。卫星结构的固有频率低阶大约在5~50Hz，所以需要2000Hz以内的所有模态——有时可能需要数千个模态。到这个程度，模态法的速度优势就减弱了，需要考虑结合RESVEC或切换到直接法。另一方面，对于发射时的正弦振动试验（5~100Hz），50~100个模态就足够了。
时间步长的设置
时间步长$\Delta t$的设置有基准吗？
基本规则是设置为所关注的最高频率$f_{\max}$周期的1/20以下：
另一个重要的是，要足够精细以捕捉载荷波形的变化。如果阶跃载荷的上升时间是0.001秒，那么大约需要$\Delta t = 0.0001$秒。模态法多使用Newmark法（无条件稳定），所以没有稳定性的限制，但有精度的限制。
阻尼的设置与注意事项
模态法中的阻尼设置怎么做？是用瑞利阻尼吧？
模态法的一大优点就是可以为每个模态单独设置阻尼比$\zeta_i$。瑞利阻尼的话，$\zeta_i = \frac{\alpha}{2\omega_i} + \frac{\beta\omega_i}{2}$，低阶和高阶的阻尼比会失真。模态法则可以直接指定“一阶模态2%，五阶模态5%”这样物理上合理的值。
阻尼比的值怎么确定呢？很多时候没有实测数据吧？
没有实测数据就用经验值。钢结构：0.5~2%，混凝土：3~5%，螺栓连接结构：2~4%，橡胶/树脂：5~15%。但这只是大致标准，并且有振幅依赖性。小振幅时低，大振幅时高。航天设备设计标准（NASA-HDBK-7005）中有按材料分类的推荐值列表。
SRS（冲击响应谱）评估
SRS（Shock Response Spectrum）和模态法有关系吗？
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