地震時刻歴応答解析
理论与物理
地震时程响应分析是什么
老师，地震时程响应分析和反应谱法有什么区别？
反应谱法只求最大响应。时程响应分析则计算随时间变化的响应全过程（位移、速度、加速度的时程）。对于塑性变形和能量吸收的评估，时程分析不可或缺。
运动方程
作为基础激励的地震输入：
$\ddot{u}_g(t)$ 是地震加速度时程（地震波形）。$\{u\}$ 是相对于基础的相对位移。
是直接将地震波形作为输入呢。
作为设计用地震波形：
- 观测波 — 埃尔森特罗（1940年）、阪神淡路大地震（1995年）等实际观测记录
- 模拟地震波 — 为符合设计反应谱而人工生成
- 场地波 — 通过地基响应分析生成地表波形
线性 vs. 非线性
等级2地震（大地震）需要弹塑性分析呢。
等级2地震（阪神淡路大地震级别）会导致结构屈服，因此必须使用弹塑性时程分析来追踪塑性铰的形成、能量吸收和残余变形。
总结
要点：
- 直接输入地震波形计算响应的完整时程
- $[M]\{\ddot{u}\} + [C]\{\dot{u}\} + [K]\{u\} = -[M]\ddot{u}_g$ — 基础激励
- 弹性时程用模态法，弹塑性用直接法 — Newmark/HHT-α
- 输入观测波或模拟地震波 — 设计规范规定
- 等级2地震必须使用弹塑性时程分析 — 塑性变形与能量吸收
地震时程分析随1970年代计算机化而普及
地震时程响应分析的实际应用始于1971年使用CAL16代码对1940年埃尔森特罗地震波（加速度计记录0.319g）进行的计算。随后，在1978年宫城县冲地震后，日本建筑基准法修订（1981年·新抗震标准）规定高度超过60米的建筑必须使用时程分析进行超高层设计，NTT数据等计算机中心开始提供批处理计算服务。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您是否有过急刹车时身体向前冲出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施力，加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉伸铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样理解——桥上卡车的重量是“作用于整个内部的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用于表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力……这些都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量以提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会如此，因此设定适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 使用mm输入时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
地震波形的输入
如何将地震波形输入到FEM中？
Nastran
```
SOL 109 $ 直接法时程
CEND
DLOAD = 100
BEGIN BULK
TLOAD1, 100, 200, , 0, 300
TABLED1, 300, , ,
, 0.0, 0.0, 0.01, 1.23, 0.02, -0.56, ... $ 加速度时程
```
用TABLED1表格定义加速度，作用于基础的SPC点。
Abaqus
```
*AMPLITUDE, NAME=earthquake
0.0, 0.0
0.01, 1.23
0.02, -0.56
...
*STEP
*DYNAMIC
0.01, 40.0 $ dt=0.01s, 40秒
*BASE MOTION, DOF=1, AMPLITUDE=earthquake
*END STEP
```
Ansys
```
/SOLU
ANTYPE, TRANSIENT
DELTIM, 0.01
TIME, 40.0
ACEL, , 9.81*amp(t) ! 加速度输入
SOLVE
```
Abaqus的*BASE MOTION最简洁呢。
*BASE MOTION直接定义基础激励。只需指定方向（DOF）和波形（AMPLITUDE）。
弹塑性模型
地震弹塑性分析中使用的材料/单元模型：
| 结构类型 | 模型 | 特点 |
|---|---|---|
| RC结构柱 | 纤维模型（OpenSees） | 追踪截面塑性化 |
| S结构梁 | 塑性铰（集中塑性） | 端部设置铰单元 |
| 隔震装置 | 双线性弹簧 | 屈服力与二次刚度 |
| 减震阻尼器 | 麦克斯韦模型 | 粘性＋弹性 |
总结
日本审查标准要求3波平均
根据日本超高层建筑结构审查的告示第457号，要求“告示波·场地特定波·观测波等3波以上的平均值，各响应值在目标值以内”。分析方法采用直接积分法（Newmark-β·HHT-α）或模态叠加法，非线性分析时采用三线性·滑移型等恢复力特性。一次时程分析的成本，对于超高层建筑（约100层·3万自由度）约为30分钟～2小时。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2～3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细分。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗略，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。2次单元是“柔性曲线”——能表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。但每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益来判断。
实践指南
地震时程的实务
用于建筑基准法的“极限耐力计算法”或“时程响应分析”。
地震波形的选定
设计规范规定的地震波：
| 规范 | 地震波的选定 |
|---|---|
| 日本（告示） | 3波以上的观测波 + 场地波。极罕遇地震动 |
| 欧洲规范8 | 符合反应谱的模拟地震波。至少3波 |
| ASCE 7 | 7波以上。符合场地特性的谱 |
| NRC（核能） | 符合SSE（安全停堆地震）的波。概率论危险性 |
至少要用3波地震波进行分析呢。
3波取平均值，7波取各波最大值（ASCE 7）。基本原则是用多个地震波评估结果的离散性。
结果的评估
なった
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