参数设置
扫描：连续改变 a 从 0.00 → 0.50，在 C_P 曲线上感受峰值（a=1/3）。
风力机及流管可视化
上：3 叶风力机的正面图。下：俯视流管。风通过风力机时减速，后流侧流管扩张，随 a 变化。
功率系数 C_P(a) 曲线
横轴：轴向诱导系数 a，纵轴：C_P。虚线为 a=1/3 的贝兹最优点（C_P=16/27≈0.593）。黄色标记为当前设置值。
理论和主要公式
轴向动量理论中，上游风速 $V_\infty$、转子位置风速 $V=(1-a)V_\infty$、下游风速 $V_w=(1-2a)V_\infty$，面积 $A=\pi D^2/4$，则
$$C_P(a) = 4a(1-a)^2 \,, \qquad P = C_P \cdot \tfrac{1}{2}\rho A V_\infty^3$$
对 a 求导 $dC_P/da = 4(1-a)(1-3a) = 0$ 得 $a=1/3$ 时最大值
$$C_{P,\max} = \frac{16}{27} \approx 0.5926$$
这就是贝兹理论上限。用贝兹极限比 $C_P/C_{P,\max}$ 评价实机效率，最新风力机达到 75〜85%。
贝兹极限模拟器是什么
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听说风力机不能百分百利用风的能量，为什么有上限？
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很好的问题。如果风力机试图完全停止风，后面的空气就无法流动，风本身就流不过来了。所以「适度减速，适度通过」有个最优平衡点。德国物理学家 Albert Betz 在 1919 年推导出 a=1/3 时取得最大 C_P=16/27≈59.3%，称为「贝兹极限」。
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a 是什么意思？就是那个「轴向诱导系数」的滑块？
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对。a 表示「上游风速相对于转子位置风速下降了多少」的比例。a=0 时风直接通过（不取能量），a=1 时风完全停止（流量为零）。两个极端都不行，中间有最优点。提取的动力公式是 P = 2ρA V_∞³ a(1-a)²，对 a 求导就会发现 a=1/3 时最大化。
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下面的图表中 C_P 曲线在 a=1/3 有个峰值，为什么 a=0.5 反而下降了？
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后流速度是 V_w=(1-2a)V_∞，所以 a=0.5 时后流速度变为零。从物理上讲就是「风力机后面空气停止了」，这时流管模型的边界条件失效。a 超过 0.5 时 C_P 会变成负数，表示理论模型已经不适用。实际的有意义范围是 0≤a≤0.5（理想化）或 0≤a≤0.4（实机），而 a=1/3 就是「减速不过度、动量变化最大」的最优点。
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最新的大型 3 叶水平轴风力机，C_P 通常是 0.45〜0.50，贝兹比达到 75〜85%。这是扣除了叶片粘性损失、后流旋转损失、叶尖涡损失、发电机效率之后的数字，已经非常接近理论上限了。现代风力发电的技术竞争焦点就是「再多挤出几个百分点」，主要靠叶片形状优化、可变桨距控制、选择风况好的海上建设。
常见问题
贝兹极限是「通过风力机的空气建模为 1 维理想流管时」的上限。基本假设是 (1) 空气非压缩，(2) 轴对称，(3) 无后流旋转，(4) 转子当作「单纯压力跳跃面」处理，这是执行器圆盘理论（Actuator Disk Theory）。仅从质量守恒和动量守恒推导就得到 C_P=4a(1-a)²，所以任何无摩擦轴对称风力机都无法超过这个公式的最大值 16/27≈59.3%。实际上如果考虑后流旋转（角动量守恒），Glauert 补正会让上限略微下降，再加上实际机械损失，现实中 C_P 就是 0.45〜0.50。
单位时间通过风力机的空气动能是 P_wind=(1/2)ṁV²=(1/2)(ρAV)V²=(1/2)ρAV³。质量流量 ṁ 本身与 V 成正比，运动能则与 V² 成正比，合起来是 V³。这对风力发电至关重要，年平均风速 6m/s 与 8m/s 的同一风力机，动力相差 (8/6)³=2.37 倍。所以风力发电场址选择（陆上 vs 海上、高度选择、地形回避）决定了经济可行性。现代风机塔筒超过 100m 高，轮毂高度 150m 级的机型在增加，就是为了到更高的风速区。
标准验证方法是「执行器圆盘模型 (ADM)」。与其逐叶精细求解，不如在流体方向施加压力跳跃 ΔP，从流量和动量变化反算 C_P。OpenFOAM 的 actuationDiskSource、Ansys Fluent 的风扇模型、STAR-CCM+ 的叶素元素等都能实现。a 从 0.0 扫到 0.49，得到的 C_P 曲线与本工具的解析式 4a(1-a)² 一致到小数点后 3 位。更精细的可以用 BEM (翼素动量)理论、ALM (执行器线模型)、或全 3D LES，但都是以贝兹理论为基础的修正。
贝兹理论忽略了后流旋转（由角动量守恒产生的反向旋转）。Glauert 考虑了周速比 λ=ωR/V_∞（叶尖速度比），导出了依赖于 λ 的修正。λ→∞ 时 C_P,max 收敛到 16/27，λ=1 时约 0.42，λ=7 时约 0.59。现代大型风机运行在 λ=6〜10，Glauert 损失仅几个百分点。本工具展示的是 λ→∞ 的理想极限（纯贝兹式），要与实机对比要加上 Glauert 损失和叶片粘性损失。
现实应用
大型海上风电机（GE Haliade-X / Siemens Gamesa SG 14）：海上风电主力机型是直径 220m 级，定格 14〜15MW。本工具输入 V=11m/s、D=220m、a=0.33、ρ=1.225，理论动力约 25MW，但实际定格是 C_P≈0.49（贝兹比 83%）加上机械损失后约 14MW。转子直径的平方倍增，所以近年风机急速大型化，2030 年代 18〜20MW 级将成标准。
陆上小型风机、家庭微风机：小型风机（1〜10kW、直径 2〜7m）多在湍流复杂的住宅地，C_P 实际只有 0.20〜0.35，贝兹比 34〜59%，不如大型机。年平均风速低于 6m/s 就难以收回投资。用本工具的式子「年平均风速 × 风机面积 × C_P」可以初步估算家庭发电可行性。
水力机、潮流发电机：河川水轮机和潮流发电涡轮也遵循同样贝兹理论。液体密度是空气的 800 倍，同样流速和直径下动力大 800 倍。潮流发电通常流速 2〜3m/s、直径 15〜20m，1〜2MW 级正在试验。概念设计上贝兹极限全部适用，但还要考虑汽蚀和海洋生物影响等额外约束。
带导管的风机（DAWT）：有些风机在后流侧装末广型导管，看似超越贝兹极限。但这是「按转子面积」正规化，要是「按导管出口面积」正规化就仍然 ≤16/27。FloDesign、FlowTubine 等试验型机种都存在这个问题，商业化困难，但很好地诠释了贝兹极限的本质（动量理论的数学上限）。
常见误区和注意
最常见的误解是「贝兹极限是机器效率的上限」。实际上它是「轴对称无摩擦转子能提取的动力的运动量理论上限」，与发电机效率、齿箱损失是两回事。实机总效率是 C_P × η_gen × η_gear × η_grid 的乘积，比如 C_P=0.50、η_gen=0.95、η_gear=0.97、η_grid=0.98 时总效率才 0.45。本工具只显示 C_P 部分，年发电量估算 (AEP) 还需和风速分布 (Weibull) 结合。
次常见的误区是「加大 a 能取更多能」。看图就明白，C_P 在 a=1/3 最大，a=0.5 时降到 0.5，a>0.5 时变负（理论破裂）。这反映「风力机风吹太停会流量减至零」的物理。实际控制中「维持最优 a」靠连续调转速和桨距，这就是 MPPT（最大功率点追踪），需要变速驱动和油压桨距致动。
第三个误解是「贝兹极限对所有风力机都适用」。贝兹理论是「轴流型理想圆盘」的上限，竖轴型（Darrieus）、阻力型（Savonius）、风帆、风筝式等有各自的理论上限。Savonius 型 C_P,max≈0.30 左右，Darrieus 型 C_P≈0.40，都不同。贝兹的 16/27 专指水平轴螺旋浆型，评价新型风机要用合适的理论。
具体计算示例
风速 8 m/s、转子直径 5 m（扫过面积 A=19.63 m²）、空气密度 1.225 kg/m³，最优 a=1/3 时 C_P,max=16/27≈0.593，可利用动力（无贝兹限制）= 0.5×1.225×5026.5×8³≈1.576 MW，实际提取动力受限 = 1.576×0.593≈0.934 MW。此 0.593 即贝兹极限比，表理论最大效率。若 a=0.4，则 C_P=4·0.4·(1−0.4)²≈0.576，贝兹极限比约 97%，提取动力约 0.908 MW