参数设置
假设两端铰支且中间集中横向荷载。一阶弯矩 $M_1 = HL/4$，增幅系数 $\psi = 1/(1-P/P_{cr})$，二阶弯矩 $M_2 = M_1\psi$。当 $r \to 1$ 时发散（座屈）。
柱变形图（一阶曲线和 P-Δ 二阶曲线）
蓝色● = 柱（两端铰支）/ 红色箭头 = 中间集中横向荷载 H / 橙色箭头 = 轴向荷载 P / 细线（蓝色虚线）= 一阶挠度曲线（无轴力）/ 粗线（黄色）= P-Δ 增幅后的二阶挠度曲线 / 中间白色箭头 = 中间点挠度 δ（夸大显示）。
增幅系数 ψ = 1/(1−r) 的双曲线
横轴 = 轴向荷载比 $r = P/P_{cr}$ [0～1] / 纵轴 = 增幅系数 $\psi$ / 蓝线 = 双曲线 $\psi = 1/(1-r)$ / 黄色● = 当前的 (r, ψ) / 橙色虚线 = $\psi = 2$ 线（r = 0.5 时增幅 2 倍）/ 红色虚线 = $r = 1$ 渐近线（座屈点发散）。
理论·主要公式
两端铰支柱的欧拉座屈荷载：
$$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$$
轴向荷载比和 P-Δ 增幅系数：
$$r = \frac{P}{P_{cr}},\qquad \psi = \frac{1}{1-r}$$
中间集中横向荷载 $H$ 的一阶弯矩和 P-Δ 增幅后的二阶弯矩：
$$M_1 = \frac{H L}{4},\qquad M_2 = M_1\,\psi = \frac{H L/4}{1 - P/P_{cr}}$$
其中 $E$ 为弹性模量，$I$ 为截面二次矩，$EI$ 为弯曲刚度，$L$ 为柱长，$P$ 为轴向荷载，$H$ 为横向荷载。当 $r \to 1$ 时 $\psi \to \infty$，表达座屈前的发散行为。
什么是 P-Δ 效应
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「P-Δ 效应」是个陌生的术语，具体是什么意思？和普通梁的弯曲计算有什么区别？
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简单地说，「P-Δ 效应」是指轴向荷载 P 作用在横向位移 Δ 上所产生的额外弯矩 P·Δ。这是\"二阶效应\"的典型代表。比如，竖立一把定规，用手指从上面向下按，同时从侧面轻轻推，你会看到横向位移在逐步放大——这就是 P-Δ 的本质。在常规的一阶分析中，我们在\"变形前的形状\"上进行力的平衡，所以忽略了这种效应。但当轴力很大时，这个效应就变得很重要了。看右下角的计算结果卡片，在默认参数下（L=4m, P=100kN, H=10kN），弯矩已经增加了 8.8%。
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我往上拖动 P 的滑块，增幅系数 ψ 越来越大，最后显示无穷大。这在物理上发生了什么？
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这就是座屈发生的地方。当 $P = P_{cr}$ 时，$\psi = 1/(1-r)$ 的分母变成零，无穷大出现。从物理意义来讲，这表示\"轴力本身就要引起座屈了，任何微小的横向变形都会被无限放大\"。按默认参数，$P_{cr} \approx 1234$ kN，当你把 P 设置到 1200 kN 附近时，ψ 会在右下面的图表中急剧上升。在实际工程中，当 r > 0.6 时，线性分析就不能用了，必须采用包含几何刚度的二阶非线性分析。
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我经常听到 P-δ 和 P-Δ，它们是一样的吗？为什么工具名叫「P-Δ」？
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小字母的 P-δ（小delta）是指单个部材内局部挠度 δ 与轴力的作用，增幅只在该部材内完成。本工具接近这种情况，但按惯例两者都被叫做「P-Δ 效应」。大字母的 P-Δ（大Delta）指的是多层建筑整体的层间位移 Δ 与重力荷载结合产生的倾覆力矩，这在地震应答分析和耐震设计（AISC、Eurocode 8）中很重要。两者的本质都是\"轴力与位移的耦合\"，在有限元中都可以用几何刚度矩阵统一处理。
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我把柱长 L 拉到 10 m，$P_{cr}$ 降到 200 kN 以下，ψ 立刻发散了。这就是\"细长柱很危险\"的原因吗？
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完全正确！从 $P_{cr} = \pi^2 EI / L^2$ 可以看出，座屈荷载与长度的平方成反比。L 从 4 m 增加到 10 m 时，$P_{cr}$ 会降到原来的 1/6.25。这样同样的 P=100 kN，荷载比 r 就会超过 0.5，ψ 增幅 2 倍以上。在实际设计中，我们用「细长比」$\lambda = L/i$（i 是截面回转半径）来评估。日本 JIS 标准和美国 AISC 规范都规定，当 λ > 100 的柱子必须考虑 P-Δ 效应，进行二阶设计。你在本工具中改变 L 就能直观地感受到这种敏感性。
常见问题
本工具用的 $\psi = 1/(1-P/P_{cr})$ 是 AISC 360 和 Eurocode 3 采用的标准\"弯矩增幅近似式\"，对两端铰支或等端弯矩情况有很高的精度。严格解通过求解微分方程 $EI\,y'' + P\,y = M(x)$ 得到，涉及三角函数（包括 $\sec(kL/2)$ 的表达式），但当 $P/P_{cr} \lt 0.5$ 时，近似式与严格解的误差不超过几个百分点，完全够设计使用。当 $P/P_{cr} > 0.7$ 时误差会变大，需要用有限元法进行几何非线性分析。
引入有效长系数 $K$，用有效长 $L_e = K \cdot L$，计算 $P_{cr} = \pi^2 EI/(KL)^2$。不同支持条件的 K 值：两端铰支 K=1.0，两端固定 K=0.5，一端固定一端铰支 K=0.7，悬臂柱 K=2.0。比如两端固定的柱相同材长下 $P_{cr}$ 是四倍，悬臂柱只有 1/4。本工具只处理最基础的两端铰支情况，其他条件可以通过 K 值调整柱长来近似处理。
主要设计规范用稳定性指数 $\theta = P\Delta/(Vh)$ 或轴向荷载比 $r = P/P_{cr}$ 来判断。AISC 360 要求当 $B_2$ 层级增幅系数 > 1.4 时进行二阶分析，Eurocode 3 则当 $\alpha_{cr} = F_{cr}/F_{Ed} \lt 10$（弹性）或 \lt 15$（塑性）时进行二阶分析。本工具中 ψ > 1.4（即 r > 0.286）是一个大致的临界点。在耐震设计中，由于地震期间位移增大，要求会更严格（ψ > 1.1 左右就需要考虑）。
本工具假设完全弹性，不包含塑性影响。实际钢结构柱接近屈服应力时，有效弹性模量会下降，座屈荷载也会随之减小。这由\"切线模量理论\"和\"换算模量理论\"描述，AISC 标准中用\"非弹性座屈曲线\"表达。残余应力（轧制、焊接来源）会提前造成屈服，能把 $P_{cr}$ 降至理论值的 60～80%。工程中用座屈折减系数 $\chi$（Eurocode 3 的曲线 a、b、c、d）来综合考虑这些因素。
实际应用
高层建筑的耐震设计：超过 30 层的高层建筑地震时，上层自重 P（数千吨）与层间位移 Δ 的组合产生倾覆力矩 P·Δ 是不可忽视的。日本建筑基准法、AISC 341 和 Eurocode 8 都要求计算稳定性指数 $\theta$，超过 0.10 的楼层必须在二阶分析中加入 P-Δ 效应。这也是现代高层建筑进行\"动态非线性时刻历反应分析\"的主要原因之一。
桥梁桥墩和大跨度：桥墩要支撑车辆、列车的动态荷载和自重，同时承受温度变化、混凝土收缩和蠕变导致的长期变位。跨度超过 100 m 的长大桥梁中桥墩高度也常常超过 50 m，此时 $P_{cr}$ 随长度平方下降，P-Δ 效应成为主要问题。本州四国连络桥和明石海峡大桥等都在设计时用了几何非线性全桥分析。
核电厂大型设备支架：反应堆容器、蒸汽发生器等巨型设备的支撑结构，自重高达数百至数千吨且位置高，地震时的水平位移会导致 P-Δ 弯矩急剧增大。美国 NRC 标准审查计划（SRP）和日本电气协会的 JEAG 4601 都要求进行含 P-Δ 效应的弹塑性应答分析。福岛事故后基准地震动大幅提高，对 P-Δ 效应的余量评估也更加严格。
风力发电塔架和海洋结构：陆地 100 m 级、海上 200 m 级的风力发电塔自重与旋转扭矩外还承受风荷载和浪涌，顶部位移可能超过 1 m。这些塔的细长比超过 100，必须包含几何非线性效应进行设计。在本工具中设 L=10 m、EI=10000 kN·m² 可以体验这类细长比的敏感性。
常见误解和注意事项
最常见的误解是，\"轴力小就可以忽视 P-Δ 效应\"。虽然 r = 0.1 时 ψ ≈ 1.11，增幅只有 11%，初期设计看似可以忽视。但在耐震设计中，\"常规地震时 r = 0.1\"可能变成\"大地震时 r = 0.5（ψ = 2.0）\"。塑性铰形成后刚度下降，实际 $P_{cr}$ 也会进一步减小。对超过设计地震的罕遇地震，必须用推覆分析或时刻历非线性分析来验证，都要包含 P-Δ 效应。
另一个常见误区是，\"线性叠加原理在二阶分析中也适用\"。一阶分析中\"1.0×P + 1.0×H 的应答 = 1.0×P 的应答 + 1.0×H 的应答\"是对的，但包含 P-Δ 的二阶分析不成立，因为 ψ = 1/(1-P/P_{cr}) 对 P 非线性。在本工具中比较 P=50 kN + P=100 kN 分别与 H=10 kN 的组合，M₂ 的增长比例不是线性的。复杂荷载组合必须分别做二阶分析，逐一评估。
最后，\"计算出 $P_{cr}$ 就万事大吉\"的想法也不对。本工具的 $P_{cr}$ 是理论欧拉值，没有考虑断面局部座屈、侧倾座屈、初始缺陷、残余应力和塑性化。实际钢结构柱的设计座屈荷载要用 Eurocode 3 座屈曲线（a～d）或 AISC 的 Q 值修正，往往是理论值的 60～90%。对 H 型钢和开口断面，侧倾座屈（LTB）可能成为主导，需要专门的规范公式或有限元线性座屈分析（LBA）。本工具是理解现象本质的入门，实际设计必须结合各国规范和 FEM 验证。