选择端部约束和截面形状，实时计算 Euler/Johnson 临界载荷、长细比和安全系数，并显示屈曲模态。
暂停时，拖动滑块即可即时更新结果。
细长柱可能在材料达到屈服强度之前先发生稳定性失效。长柱主要由 Euler 公式控制，中等长细比柱可用 Johnson 抛物线估算。
$$P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}$$应力曲线显示当前柱在长细比轴上的位置；模态图显示所选端部条件下的屈曲形状，便于理解有效长度系数 K 的影响。
细长柱受轴压时，可能在达到屈服前突然侧向变形，即屈曲。理想弹性（欧拉）屈曲载荷与应力为：
$P_{cr} = \dfrac{\pi^2 E I}{(K L)^2}, \qquad \sigma_{cr}=\dfrac{P_{cr}}{A}=\dfrac{\pi^2 E}{\lambda^2}, \qquad \lambda=\dfrac{KL}{i},\ i=\sqrt{\dfrac{I}{A}}$
$L_{cr}=KL$ 为有效屈曲长度，$\lambda$ 为长细比，$i$ 为回转半径。端部约束越强 $K$ 越小，越不易屈曲。
| 端部条件 | $K$（理论值） | $L_{cr}$ |
|---|---|---|
| 两端铰接 | 1.0 | $L$ |
| 固定–自由（悬臂） | 2.0 | $2L$ |
| 固定–铰接 | 0.7 | $0.7L$ |
| 两端固定 | 0.5 | $0.5L$ |
屈曲发生在最弱轴（最小 $I$）。截面惯性矩：实心圆 $I=\pi d^4/64$，空心圆 $I=\pi(D^4-d^4)/64$，矩形 $I=bh^3/12$。
欧拉公式仅对长柱（细长柱）有效。对粗短柱，屈曲应力超过屈服应力 $\sigma_y$，将先发生压缩屈服而非屈曲。其分界为临界长细比：
$\lambda_1 = \pi\sqrt{\dfrac{E}{\sigma_y}}$
| 分类 | 长细比 | 控制行为 |
|---|---|---|
| 短柱 | 小（$\lambda$ 小） | 压缩屈服 $\sigma_{cr}\approx\sigma_y$ |
| 中长柱 | 中等 | 非弹性屈曲（如 Johnson：$\sigma_{cr}=\sigma_y-\dfrac{\sigma_y^2}{4\pi^2 E}\lambda^2$） |
| 长柱 | 大（$\lambda>\lambda_1$） | 弹性屈曲（欧拉） |
屈曲突然且具破坏性，实际设计取较大安全系数，并考虑初始缺陷与偏心。降低长细比（更粗、更短、约束更强）是基本对策。
本工具适合柱、支撑、压杆和机架构件的初步尺寸估算。正式设计还应检查初始弯曲、偏心载荷、连接刚度、局部屈曲以及相应规范要求。