齿轮参数
内齿轮 齿数 Zr = Zs+2Zp
60
动力传递设置
计算结果
速度比 i—
输出转速—
扭矩比—
效率 η—
输出部件—
行星齿轮系 动画图
速度比 vs 行星齿轮齿数 Zp（各输入输出组合）
理论·主要公式
$$\frac{N_{out}-N_c}{N_{in}-N_c}= (-1)^k \frac{Z_s}{Z_r}$$
$k=1$（内齿轮经由）, $N_c$: 载体转速
什么是行星齿轮列
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行星齿轮和普通齿轮有什么区别？"太阳"和"行星"这样的名字也很奇怪。
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简单来说，中间有一个"太阳齿轮"，周围有几个小的"行星齿轮"在绕它旋转，外面还有一个"内齿轮"包裹着，整个系统由"载体"支撑。普通齿轮只涉及两个轴，但这个系统有4个部件，根据选择哪个固定、哪个输入、哪个输出，速度和扭矩会大大改变。它超级实用！比如，汽车的自动变速器（AT）就是这样设计的。
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好问题！试试用上面的滑块减少"太阳齿轮的齿数"。你会看到速度比变大了，输出转速迅速下降。这意味着能获得很大的减速比。反过来，如果把内齿轮的齿数改得接近太阳齿轮，速度比就接近1，几乎不减速。在实际设计中，为了在紧凑的空间内获得大的减速比，工程师会把太阳齿轮设计得很小。
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改变"输入部件"和"固定部件"时，结果完全不同！这一切都用同一个公式计算吗？
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完全正确！无论什么组合，一个魔法公式"Willis方程式"就能解释一切。试试这样：先把"输入"设为"太阳齿轮"，"固定"设为"内齿轮"。然后改变"固定"为"载体"。你会看到输出转速从正数变成负数，也就是说旋转方向反转了！这就是公式中$(-1)^k$项的效果，表示内齿轮会导致旋转方向反转。
常见问题
改变数字输入框中的值后，一定要按Enter键或在输入框外点击来确认输入。如果没有确认，动画图就不会更新。同时，齿数应该设置在实用范围内（例如：太阳齿轮10～100，内齿轮30～200）。
k是啮合路径数。k=1表示太阳齿轮→行星齿轮→内齿轮这样的两级啮合（符号反转），k=0表示直接啮合（符号保持）。在典型的行星齿轮列中k=1更常见，这意味着输出的旋转方向与输入相反。
效率表示的是理想值（不超过100%），忽略了齿轮啮合的损失。如果显示超过100%，可能是输入和输出的设置（固定部件、输入部件、输出部件）有问题。请重新检查各个下拉菜单的选择。
本工具主要用于速度比、扭矩比和效率的估算。实际制造还需要进行齿干涉检查、最小齿数限制、强度计算、润滑设计等详细的工程设计。特别要注意内齿轮和行星齿轮的干涉问题。本工具的结果应仅作为参考。
行星齿轮列需要满足两个条件："几何条件" Z_r = Z_s + 2·Z_p 和"等间距条件"(Z_s + Z_r) / 行星齿轮数必须是整数。如果这些条件不满足，齿轮无法均匀配置，就无法组装。比如Z_s=20、Z_p=15时，Z_r=50，若行星齿轮3个，则(20+50)/3=23.3不是整数，无法实现。可以在本模拟器中边调整齿数边检查。
差速齿轮列让3个部件（太阳齿轮、载体、内齿轮）都能自由旋转（无固定部件），这是一种特殊用法。在本模拟器中，可以通过"固定"选项确认Willis方程式自由度为2的状态。汽车差速器通过让左右两个输出以不同速度旋转来吸收速度差。利用模拟器的滑块，可以体验输入和输出的关系。
啮合损失主要取决于啮合率和齿面摩擦系数，所以齿面加工精度（JIS 3～4级以上）和正确的润滑油粘度很关键。高效产品（η≥0.97）通常采用齿面磨削+低粘度合成油+沿滚动方向的齿形修整（鼓形）。本模拟器中的效率是基于啮合损失的代表值，实际机构还包括轴承摩擦和油液搅动损失，所以实际效率通常比计算值低5～10%。
以丰田HSD（e-Four）为例，一组行星齿轮列连接"发动机→载体"、"发电马达MG1→太阳齿轮"、"驱动轮→内齿轮"。通过组合发动机转速和MG1转速，可以连续控制内齿轮（车轮）的转速，实现无级变速的效果。在本模拟器中，设置"载体输入·太阳齿轮输入·内齿轮输出"模式，改变各个齿数，就能体验混合动力系统的变速特性。
实际应用
汽车自动变速器（AT）和混合动力汽车：多组行星齿轮列配合离合器和制动器，通过切换固定部件来实现多个变速级。这利用了结构紧凑但能传递大扭矩的特点。
风力发电增速机（齿轮箱）：将风机叶片的低速旋转增速到发电机所需的高速旋转。行星齿轮列易于多级串联，大型风机所需的高扭矩传递特别适合。
工业机器人关节驱动：在小型轻量的前提下，需要高减速比和高刚性。行星齿轮列正好满足这些要求，也能实现反向间隙小的设计。
电动工具（电钻、冲击扳手等）：把电机的高速旋转转换为工作所需的低速高扭矩旋转。齿轮箱要求结构紧凑高效，是电动工具的核心部件。
常见误区和注意事项
首先，澄清一个常见误解："行星齿轮列靠一个行星齿轮驱动"这是不对的。实际上是多个行星齿轮（通常3～4个）均匀分布，共同承担负荷，才能实现结构紧凑和高扭矩传递。当你在模拟器中改变行星齿轮齿数"Z_p"时，内齿轮齿数"Z_r"也会自动改变，对吧？这是因为要满足几何装配条件。这个关系（$Z_r = Z_s + 2 \times Z_p$）如果破坏，齿轮就无法正常啮合组装。比如太阳齿轮Z_s=30、行星齿轮Z_p=20，那么内齿轮必须是Z_r=70，否则装配不了。
其次，许多人容易混淆速度比和扭矩比。看模拟器的结果时，改变"输入部件"和"固定部件"，速度比会大幅变化。同时要注意"输出扭矩"也在变。简单来说，如果速度比（减速比）变成1/10，扭矩比就约为10倍（忽略效率损失）。反之，如果速度比小于1（增速），扭矩就会减小。这个此消彼长的关系在设计时很关键，如果忽视就会选错电机，导致输出扭矩不足。
最后，一个实务上的陷阱：计算效率和实际效率不同。模拟器用单一效率值简化了齿轮摩擦和啮合损失，但现实中效率会随转速、负荷、润滑状态波动。这里的"效率"主要考虑齿面摩擦导致的损失。实际机器还有轴承摩擦和油液搅动损失。在初期设计中可以用这个计算值，但选电机时要预留5～10%的余量。实际样机测试往往比理论值低这么多，这是业界共识。