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行星齿轮速度方程
$\frac{n_S - n_C}{n_R - n_C}= -\frac{Z_R}{Z_S}$
其中 nS、nR、nC 分别为太阳轮、齿圈和行星架的转速。
结果 1
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结果 2
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计算结果
计算行星齿轮系的速比、扭矩比和效率。从单级/双级行星的齿数比导出输出转速。
$\frac{n_S - n_C}{n_R - n_C}= -\frac{Z_R}{Z_S}$
其中 nS、nR、nC 分别为太阳轮、齿圈和行星架的转速。
计算结果
行星齿轮传动的核心是描述太阳轮(S)、齿圈(R)和行星架(C)三者转速关系的运动学方程，也称为Willis方程。
$$\frac{n_S - n_C}{n_R - n_C}= -\frac{Z_R}{Z_S}$$其中，$n_S$、$n_R$、$n_C$ 分别为太阳轮、齿圈和行星架的转速（rpm）。$Z_S$ 和 $Z_R$ 分别是太阳轮和齿圈的齿数。公式右边的负号表示在行星架固定时，太阳轮与齿圈的旋转方向相反。
基于运动学方程，可以推导出当其中一个部件固定时，系统的传动比（输入转速/输出转速）和扭矩比。
$$i = \frac{n_{in}}{n_{out}}= 1 + \frac{Z_R}{Z_S}$$例如，当齿圈固定($n_R=0$)，太阳轮输入($n_{in}=n_S$)，行星架输出($n_{out}=n_C$)时，代入Willis方程即可得到上述传动比公式。传动比 $i$ 永远大于1，这意味着这是一个减速装置，同时输出扭矩会放大近 $i$ 倍（忽略效率损失）。
汽车自动变速箱：这是行星齿轮组最经典的应用。通过液压或电子控制离合器与制动器，固定行星齿轮组中不同的部件，就能实现多个前进档、倒档和空档，换挡过程平顺无中断。
风力发电机组增速箱：为了将低速的风轮转速提升到发电机所需的高转速，常采用多级行星齿轮传动。其结构紧凑、承载能力高的特点非常适合这种大功率传递的场景。
工程机械行走驱动：挖掘机、盾构机等重型设备的轮边或履带驱动中，行星齿轮减速器因其尺寸小、扭矩大，可以直接集成在车轮或链轮内部，形成紧凑的驱动单元。
直升机主旋翼传动：直升机发动机的动力需要通过减速器大幅降低转速后传递给主旋翼。采用行星齿轮传动方案，可以在有限的机身空间内实现极高的减速比和功率密度。
首先，让我们从“行星齿轮仅靠单个齿轮运行”这一误解开始厘清。实际上，多个行星齿轮（通常3-4个）会均匀分布，通过分担载荷来实现紧凑且高扭矩的设计。在模拟器中改变行星齿轮齿数“Z_p”时，内齿轮齿数“Z_r”会自动变化对吧？这是为了满足几何装配条件，若破坏此关系（$Z_r = Z_s + 2 imes Z_p$），齿轮将无法正确啮合。例如，若太阳轮（Z_s=30）、行星齿轮（Z_p=20），则内齿轮必须为Z_r=70，否则物理上无法装配。
其次，混淆速度比与扭矩比的情况。在工具中改变“输入部件”和“固定部件”时，速度比会发生显著变化。请注意同时关注“输出扭矩”的数值。当速度比（减速比）增大时，扭矩比也几乎以相同比例增大（效率损失除外）。也就是说，若转速减速至1/10，扭矩将放大约10倍。反之，若速度比小于1（增速），扭矩则会减小。若设计时不牢记这种权衡关系，可能导致无法获得所需输出扭矩的失误。
最后是实践中的陷阱。计算效率与实际效率存在差异这一点。模拟器将齿轮摩擦和啮合损失简化为单一效率值，但实际上效率会随转速、负载扭矩及润滑状态而变化。特别需要注意的是，这里计算的“效率”是基于齿面摩擦为主要损失的理论值。实际机构中还需考虑轴承摩擦、油液搅动损失等。在试制前的初期设计中，建议在运用此计算值的同时预留余量进行电机选型等操作。
掌握本工具中的行星齿轮系基础知识后，其实就打开了通往机器人学领域的大门。例如，工业机器人关节（Joint）需要紧凑、高扭矩且背隙（齿隙）小的减速机。其中常用的“谐波驱动器”和“摆线减速机”虽然结构完全不同，但在巧妙切换“输入·输出·固定”要素以获得大减速比这一点上，与行星齿轮系的动力学思路相通。理解行星齿轮的“相对运动”将成为学习这些特殊减速机原理的坚实基础。
另一重要领域是振动噪声分析（NVH）。行星齿轮通过多个行星齿轮连续啮合，会以其固有频率（啮合频率）产生振动。该频率可根据齿数与转速按 $f_{mesh} = N imes Z / 60$ [Hz] 等形式计算。在模拟器中改变齿数会导致“啮合频率”变化，这可能成为机构共振或噪声的诱因。CAE中会基于此计算结果进行频率响应分析，以降低噪声振动。
此外还与控制工程密切相关。尤其在混合动力车的动力分配机构（PSD）中，发动机、电机和车轮通过行星齿轮系连接。其中各元件的转速关系正是威利斯方程式的体现。控制工程师基于此物理模型，计算应如何控制发动机和电机的转速与扭矩，以实现目标驱动力和燃油经济性。不理解机构原理，就无法制定优秀的控制策略。
作为下一步，首先推荐尝试研究“复合行星齿轮系”。实际汽车自动变速箱或风力发电增速机中，会将多个单级行星齿轮系串联组合。学习要点在于逐级判断行星架、太阳轮、内齿轮中哪些部件通过“共用轴”连接。例如，第一级的行星架可能与第二级的太阳轮固定在同一轴上。此时通过联立求解各级的威利斯方程，即可得到整体减速比。这种“解联立方程”的过程，能将模拟器获得的直觉进行数学扩展，是很好的训练。
若希望进一步深化数学背景，学习“速度图（速度矢量图）”会非常有效。威利斯方程式虽代数形式便捷，但速度图是一种将各部件相对速度关系几何可视化的方法。通过圆和线段图示各元件速度，能直观理解公式成立原理及旋转方向的决定机制。教材中几乎都会涉及此内容，建议结合图表与公式深化理解。
最后，若专攻CAE领域，可着眼于后续的“强度分析”与“耐久性评估”。本工具确定的齿数和减速比，将成为下一步决定齿形、模数、齿宽等“齿轮设计”的输入条件。进而基于设计的齿轮创建三维模型，开展基于有限元法（FEM）的齿根弯曲强度分析及齿面接触压力分析。本工具正是为了在这漫长设计分析流程的“第一关”——动力学特性确定阶段，实现可靠且快速的计算。希望大家先用此工具掌握行星齿轮系的趣味与基础，进而不断拓展知识疆界。