动画展示齿轮啮合、复合齿轮系和行星齿轮组。自动计算齿轮比、输出转速、扭矩比和节圆直径，直观体验增速、减速和反转。
动画：各齿轮按正确的角速度比旋转
对于一对啮合的正齿轮，其运动学关系由齿数决定传动比，几何关系由模数和齿数决定节圆直径和中心距。
$$ i = \frac{N_2}{N_1}= \frac{\omega_1}{\omega_2}= \frac{d_2}{d_1}\quad (N: 齿数,\ \omega: 角速度,\ d: 节圆直径) $$$i$：传动比（\gt 1为减速，\lt 1为增速）；$N_1, N_2$：主、从动轮齿数；$\omega_1, \omega_2$：主、从动轮角速度；$d_1, d_2$：主、从动轮节圆直径。
齿轮啮合的基本几何参数是模数 $m$，它决定了齿轮的大小和齿的粗细。相互啮合的齿轮必须模数相同。
$$ d = m \cdot Z, \quad a = \frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$$$m$：模数（标准化参数）；$Z$：齿数；$d$：节圆直径；$a$：两齿轮的中心距。模数越大，齿轮的齿越大，承载能力通常越强。
行星齿轮系（齿圈固定模式）的传动关系。这是自动变速箱中最常用的配置之一。
$$ n_c = n_s \cdot \frac{Z_s}{Z_s + Z_r}\quad \text{或}\quad i = \frac{n_s}{n_c}= 1 + \frac{Z_r}{Z_s} $$$n_s$：太阳轮输入转速；$n_c$：行星架输出转速；$Z_s$：太阳轮齿数；$Z_r$：齿圈齿数。此公式表明，输出转速恒小于输入转速（减速），且通过调整齿数比可以获得很大的减速比。
汽车变速箱：无论是手动还是自动变速箱，其核心都是通过不同齿比的齿轮组合来改变发动机输出的转速和扭矩。手动变速箱是简单的齿轮对切换，而自动变速箱则大量依赖行星齿轮组来实现平顺的、多档位的变速。
工业减速机：在工厂的输送带、搅拌机或起重设备中，电机转速通常很高，需要巨大的减速机（里面是复杂的多级齿轮系）来降低转速、提高输出扭矩，以驱动重型机械。
钟表与精密仪器：手表的齿轮系需要极其精确的传动比来驱动时针、分针和秒针。这里使用的多是模数很小的精密齿轮，要求传动平稳、误差极小。
风力发电机组：风力涡轮机的叶片转速很慢，但发电机需要较高的转速。中间的增速齿轮箱（通常包含行星齿轮级和正齿轮级）将低速高扭矩的叶片旋转，转换为高速旋转以高效发电。
首先，在模拟器中尝试时，你是否曾认为“只要齿数匹配，任何组合都能啮合”？其实这里存在一个常见的误区：只有相同模数（齿轮尺寸）的齿轮才能正确啮合。例如，模数2的20齿齿轮（分度圆直径40mm）与模数2.5的20齿齿轮（分度圆直径50mm）虽然外观相似，但绝对无法啮合。设计中，在考虑齿数之前，统一模数是首要原则。
其次，在计算减速比时，人们常倾向于“单级实现所有需求”。理论上，单级确实可以实现100:1的减速比。但如果小齿轮为10齿，大齿轮就需要1000齿，这既不现实也不高效。实际工程中，通常将单级减速比控制在3到6之间。例如，若需要36:1的总减速比，采用6×6的两级结构能更紧凑地实现。在模拟器中尝试使用“复合齿轮系”，保持总减速比不变而调整各级齿数，你就能直观感受到齿轮尺寸平衡的变化。
此外，关于行星齿轮的“固定”方式：本工具主要演示齿圈固定的情况，但实际机构中，通过切换固定元件（太阳轮、齿圈或行星架），可以获得减速、增速、反转甚至直连（1:1）等多种传动特性。这种“固定元件的选择”正是行星齿轮机构设计的核心。一套行星齿轮组能实现多种运动模式，这也是它被广泛应用于变速装置等场景的原因。
某减速传动系统：输入轴转速n1=1500 r/min，第一级正齿轮Z1=25齿（模数m=3mm），Z2=75齿。齿轮比i₁=3，输出转速n2=500 r/min；若第二级采用行星齿轮（太阳齿Z_s=30，行星齿Z_p=25，环齿Z_r=80），行星架转速为166.7 r/min。扭矩增大3倍，若输入扭矩T1=100 N·m，则输出T2=300 N·m。第一级节圆直径d1=75mm、d2=225mm，中心距a=150mm。