动画展示齿轮啮合、复合齿轮系和行星齿轮组。自动计算齿轮比、输出转速、扭矩比和节圆直径，直观体验增速、减速和反转。
动画：各齿轮按正确的角速度比旋转
对于一对啮合的正齿轮，其运动学关系由齿数决定传动比，几何关系由模数和齿数决定节圆直径和中心距。
$$ i = \frac{N_2}{N_1}= \frac{\omega_1}{\omega_2}= \frac{d_2}{d_1}\quad (N: 齿数,\ \omega: 角速度,\ d: 节圆直径) $$$i$：传动比（>1为减速，<1为增速）；$N_1, N_2$：主、从动轮齿数；$\omega_1, \omega_2$：主、从动轮角速度；$d_1, d_2$：主、从动轮节圆直径。
齿轮啮合的基本几何参数是模数 $m$，它决定了齿轮的大小和齿的粗细。相互啮合的齿轮必须模数相同。
$$ d = m \cdot Z, \quad a = \frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$$$m$：模数（标准化参数）；$Z$：齿数；$d$：节圆直径；$a$：两齿轮的中心距。模数越大，齿轮的齿越大，承载能力通常越强。
行星齿轮系（齿圈固定模式）的传动关系。这是自动变速箱中最常用的配置之一。
$$ n_c = n_s \cdot \frac{Z_s}{Z_s + Z_r}\quad \text{或}\quad i = \frac{n_s}{n_c}= 1 + \frac{Z_r}{Z_s} $$$n_s$：太阳轮输入转速；$n_c$：行星架输出转速；$Z_s$：太阳轮齿数；$Z_r$：齿圈齿数。此公式表明，输出转速恒小于输入转速（减速），且通过调整齿数比可以获得很大的减速比。
汽车变速箱：无论是手动还是自动变速箱，其核心都是通过不同齿比的齿轮组合来改变发动机输出的转速和扭矩。手动变速箱是简单的齿轮对切换，而自动变速箱则大量依赖行星齿轮组来实现平顺的、多档位的变速。
工业减速机：在工厂的输送带、搅拌机或起重设备中，电机转速通常很高，需要巨大的减速机（里面是复杂的多级齿轮系）来降低转速、提高输出扭矩，以驱动重型机械。
钟表与精密仪器：手表的齿轮系需要极其精确的传动比来驱动时针、分针和秒针。这里使用的多是模数很小的精密齿轮，要求传动平稳、误差极小。
风力发电机组：风力涡轮机的叶片转速很慢，但发电机需要较高的转速。中间的增速齿轮箱（通常包含行星齿轮级和正齿轮级）将低速高扭矩的叶片旋转，转换为高速旋转以高效发电。
首先，在模拟器中尝试时，你是否曾认为“只要齿数匹配，任何组合都能啮合”？其实这里存在一个常见的误区：只有相同模数（齿轮尺寸）的齿轮才能正确啮合。例如，模数2的20齿齿轮（分度圆直径40mm）与模数2.5的20齿齿轮（分度圆直径50mm）虽然外观相似，但绝对无法啮合。设计中，在考虑齿数之前，统一模数是首要原则。
其次，在计算减速比时，人们常倾向于“单级实现所有需求”。理论上，单级确实可以实现100:1的减速比。但如果小齿轮为10齿，大齿轮就需要1000齿，这既不现实也不高效。实际工程中，通常将单级减速比控制在3到6之间。例如，若需要36:1的总减速比，采用6×6的两级结构能更紧凑地实现。在模拟器中尝试使用“复合齿轮系”，保持总减速比不变而调整各级齿数，你就能直观感受到齿轮尺寸平衡的变化。
此外，关于行星齿轮的“固定”方式：本工具主要演示齿圈固定的情况，但实际机构中，通过切换固定元件（太阳轮、齿圈或行星架），可以获得减速、增速、反转甚至直连（1:1）等多种传动特性。这种“固定元件的选择”正是行星齿轮机构设计的核心。一套行星齿轮组能实现多种运动模式，这也是它被广泛应用于变速装置等场景的原因。
本齿轮模拟器所涉及的原理，实际上触及了CAE（计算机辅助工程）领域的入门知识。最直接相关的当属机构分析（多体动力学）。齿轮啮合被建模为传递旋转运动的“约束条件”。更复杂的连杆机构或机器人关节运动仿真软件（如ADAMS或RecurDyn），其基本思想同样基于“约束与运动传递”。
其次，它与振动与噪声分析（NVH）也密切相关。齿轮啮合的“平滑度”直接影响振动和噪声水平。齿形微调的“齿顶修形”或提高重合度的设计，正是为了解决如何让模拟器中看到的简单旋转变得更平稳、更安静的问题。转速或扭矩的波动会导致齿面受力变化，从而成为振动源。
更进一步，这里计算出的扭矩和转速是电机选型和轴强度计算的基础数据。例如，在减速比为10的机构中，若输出侧需要100Nm扭矩，则电机轴（输入侧）仅需承受其1/10即10Nm的扭矩。反之，传递该扭矩的轴径尺寸或轴承选型，都需依据计算出的扭矩值来确定。可以说，本模拟器也是体验动力传动系统设计第一步的工具。
熟悉本工具后，下一步可以探索“齿形曲线”的世界。模拟器中的齿轮仅是简单平板，而实际齿轮的齿廓由复杂曲线构成。其中渐开线被广泛采用，它使齿轮在中心距略有偏差时仍能平稳传动（具有中心距可分离性）。研究这条曲线的数学背景（缠绕线端点的展开轨迹），能让你领略齿轮设计的精妙之处。
若要深入理解行星齿轮机构，强烈建议亲手推导威利斯基本公式。这个神奇公式用一个等式描述了所有元件（太阳轮、齿圈、行星架、行星轮）的转速关系，掌握后就能计算固定不同元件时的各种速比。工具中的公式只是这个通用公式的一个特解。推导过程需要运用相对速度的概念，这正是机械动力学的重要基础。
若想贴近实际工程，可以尝试在仿真参数中加入“效率”和“背隙（齿侧间隙）”的考量。真实齿轮存在摩擦损耗，无法传递100%的动力。同时，背隙过小会导致啮合过紧而卡死，过大则影响定位精度。想象一下在本工具中学到的理想运动，在实际设计中如何与各种非理想因素（效率、强度、成本、加工精度）进行权衡，这将是下一个重要的学习阶段。