默认值（ΔT=75 K、L=0.5 m、β=3.0×10⁻³ /K、ν=1.6×10⁻⁵ m²/s、Pr=0.7 空气）下 Gr ≈ 1.08×10⁹、Ra ≈ 7.55×10⁸、Nu ≈ 113.2、判定为「层流」。Pr 固定为空气的 0.7，Ra=10⁹ 边界处层流/湍流过渡。
高温竖平板（红色）上升的温暖空气流（红箭头）与周围流入的冷空气（蓝箭头）。曲线表示热边界层厚度 δ ≈ L·Ra^(-1/4)，Ra 越大越薄，传热驱动力越强。墙面色阶表示温度梯度。
横轴：瑞利数 Ra（log10，10³～10¹²）/ 纵轴：努塞尔数 Nu（log10）/ 蓝实线：Churchill-Chu 相关 / 红竖线：Ra=10⁹ 层流-湍流边界 / 黄标记：当前工作点 (Ra, Nu) / 层流域 Nu ∝ Ra^(1/4)，湍流域 Nu ∝ Ra^(1/3)，斜率变陡。
格拉晓夫数：表示自由对流中浮力（由温度差引起的密度差）与粘性力的比值的无量纲数。
$$\mathrm{Gr} = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu^2}$$
瑞利数为 Gr 乘以普朗特数 $\mathrm{Pr}=\nu/\alpha$，是自然对流真实的支配数：
$$\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\cdot\mathrm{Pr}$$
竖平板自然对流的 Nu 通过 Churchill-Chu 相关在全 Ra 范围内用单一公式表示：
$$\mathrm{Nu} = \left\{0.825 + \frac{0.387\,\mathrm{Ra}^{1/6}}{[\,1+(0.492/\mathrm{Pr})^{9/16}\]^{8/27}}\right\}^{2}$$
$g$ 为重力加速度（9.81 m/s²），$\beta$ 为热膨胀系数（理想气体为 $1/T$），$\Delta T$ 为表面与周围温度差，$L$ 为特征长度（竖平板的高度），$\nu$ 为运动粘性系数，$\alpha$ 为热扩散率。Ra < 10⁹ 为层流，Ra ≥ 10⁹ 过渡到湍流。
格拉晓夫数模拟器简介
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传热课上出现了"自然对流的格拉晓夫数"，和雷诺数有什么区别？什么时候用哪个？
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好问题。雷诺数 Re = ρUL/μ 表示"外部施加的惯性力 vs 粘性力"，用于泵或风扇强制对流。格拉晓夫数 Gr = gβΔTL³/ν² 表示"温度差产生的浮力 vs 粘性力"，用于流体本身浮力驱动对流的自由对流。本工具默认值（空气，ΔT=75 K，L=0.5 m，β=3×10⁻³ /K，ν=1.6×10⁻⁵ m²/s）显示 Gr ≈ 1.08×10⁹，这是"站在家用取暖器前"的典型温度差和"竖 50 cm 的板"的典型值。关闭风扇的 IT 设备自然散热或建筑外墙保温评估中，Gr 是支配参数。
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为什么要把瑞利数 Ra = Gr·Pr 乘上 Pr？仅用 Gr 不行吗？
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本质问题。Gr 只表示"浮力能否克服粘性"，但自然对流的发生还要看"热能否比运动量更快扩散而削弱浮力效应"。这由 Pr = ν/α 表示，Ra = Gr·Pr 就是浮力驱动与"粘性+热扩散阻尼"的综合比值，是自然对流发生的真实支配数。空气（Pr=0.7）下 Ra ≈ 0.7·Gr，水（Pr=7）下 Ra ≈ 7·Gr——水的 Pr 大得多，同样 Gr 条件下自然对流更易发生。本工具默认值中 Ra ≈ 7.55×10⁸，刚好在层流/湍流边界 Ra=10⁹ 前夕。增加 ΔT 或 L 超过边界，可观察判定从"层流"切换到"湍流"。
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图上红竖线是 Ra=10⁹，蓝曲线是 Churchill-Chu 的 Nu。为什么 Ra=10⁹ 处曲线折了角？
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观察敏锐。层流自然对流边界层的 Nu ∝ Ra^(1/4) 增长缓慢，Ra=10⁹ 超过后过渡到湍流，Nu ∝ Ra^(1/3) 斜率陡增。湍流混合大幅增强传热。Churchill-Chu 相关 Nu = {0.825 + 0.387 Ra^(1/6) / [1+(0.492/Pr)^(9/16)]^(8/27)}² 用一条光滑曲线衔接这两个区间，是很便利的经验式。本工具默认值（Ra ≈ 7.55×10⁸、Pr=0.7）给出 Nu ≈ 113.2。进一步算传热系数 h = Nu·k/L，空气（k ≈ 0.026 W/(m·K)）得 h ≈ 5.9 W/(m²·K)，正好在"自然对流空气典型 5～25"的中间。点击扫描 ΔT 按钮，会看黄色标记越过红线进入湍流域，Nu 增长加速。
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热膨胀系数 β 从 3 改到 10，Gr 增长超过 3 倍。β 是什么物性？空气和水不同吗？
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关键参数。热膨胀系数 β = -(1/ρ)(∂ρ/∂T)|_p 表示"温度升 1 K 时体积膨胀倍数"，β 大则温度差产生浮力大。理想气体 β = 1/T，300 K 空气为 β ≈ 3.3×10⁻³ /K。水（20°C）β ≈ 0.21×10⁻³ /K，仅空气的 1/16，但水密度是空气 800 倍，所以浮力绝对值水更大（体感水温不均衡对流强）。乙二醇防冻液 β ≈ 0.5×10⁻³ /K，发动机油 β ≈ 0.7×10⁻³ /K。调动本工具 β 滑块就能看到：同 ΔT、L 条件下，流体种类能让 Gr 天差地别。设计时必须查表确认该流体的 β。
常见问题
什么是格拉晓夫数？
格拉晓夫数 Gr = gβΔTL³/ν² 是表示自由对流中浮力（由温度差引起的密度差）与粘性力比值的无量纲数。g 是重力加速度，β 是流体热膨胀系数（理想气体为 1/T），ΔT 是表面与周围的温度差，L 是特征长度（竖平板为高度），ν 是运动粘性系数。本工具默认值（ΔT=75 K、L=0.5 m、β=0.003 /K、ν=1.6×10⁻⁵ m²/s、空气）显示 Gr ≈ 1.08×10⁹。若雷诺数是强制对流特征数，格拉晓夫数则是自由对流特征数。
瑞利数和格拉晓夫数的关系？
瑞利数定义为 Ra = Gr·Pr，是格拉晓夫数乘以普朗特数 Pr = ν/α（运动量扩散 vs 热扩散）。Ra 是浮力驱动与粘性·热扩散阻尼的综合比值，是自然对流发生·过渡的真实支配参数。竖平板：Ra < 10⁹ 为层流，Ra ≥ 10⁹ 过渡到湍流。本工具默认值（空气 Pr=0.7）显示 Ra ≈ 7.55×10⁸，刚好在层流域边缘。增加 ΔT 或 L 可进入湍流域，观察 Nu 斜率变化。
什么是 Churchill-Chu 相关？
Churchill-Chu 相关是用单一公式表示竖平板自然对流努塞尔数的经验式，覆盖从层流到湍流的全瑞利数范围。Nu = {0.825 + 0.387 Ra^(1/6) / [1+(0.492/Pr)^(9/16)]^(8/27)}²，本工具默认值（Ra ≈ 7.55×10⁸、Pr=0.7）得 Nu ≈ 113.2。同条件热传递系数 h ≈ Nu·k/L，空气（k ≈ 0.026 W/(m·K)）得 h ≈ 5.9 W/(m²·K)，为自然对流典型值。
格拉晓夫数用在哪些场景？
格拉晓夫数用于评估无风扇·无泵的自由对流传热。具体例子：(1) 电子设备自然散热翅片，(2) 建筑外墙·窗户周围空气对流热损失，(3) 管道保温/散热，(4) 化学反应器内液体自然对流混合，(5) 核反应堆自然循环冷却（应急模式）。强制对流（Re）与自由对流（Gr）共存时，用 Gr/Re² 判断主导机制（>10 为自由对流主导，<0.1 为强制对流主导）。
实际应用
电子设备无风扇散热设计： 服务器或嵌入式设备无音设计中，CPU 上散热片（翅片高 L=50 mm、ΔT=40 K）计得 Gr ≈ 4×10⁵、Ra ≈ 3×10⁵，在本工具输入相当值得 Nu ≈ 12、h ≈ 6 W/(m²·K)。CPU 散热 30 W 需翅片面积 A = Q/(h·ΔT) = 30/(6·40) = 0.125 m²，翅片形状优化直接与格拉晓夫数评估挂钩。
建筑外墙·保温设计： 住宅外墙（高 L=3 m、ΔT=20 K = 室内 22°C·室外 2°C）空气 Gr ≈ 1.8×10¹⁰、Ra ≈ 1.3×10¹⁰，本工具显示为湍流自然对流域。Nu ≈ 230、h ≈ 2 W/(m²·K)，外墙 100 m² 则自然对流热损失 100·2·20 = 4 kW。双层玻璃或保温层控制 Gr/Ra，削减年冷暖费，这是节能设计核心。
核反应堆自然循环冷却（被动安全系统）： 福岛事故后重视的"电源丧失时自然循环冷却"，反应堆压力容器热量使冷却水密度差形成，无泵循环。炉心高 L=4 m、ΔT=50 K、加压水 β ≈ 1×10⁻³ /K、ν ≈ 1.3×10⁻⁷ m²/s 时 Gr ≈ 7×10¹³ 巨值，强湍流自然对流能除去衰变热。本工具 ν 滑块最低 0.1×10⁻⁵，用稍高设定可再现。
化学反应器温度均一性控制： 大型间歇反应器（径 L=2 m、ΔT=10 K）水溶液（β ≈ 0.3×10⁻³ /K）无搅拌反应时 Gr ≈ 1.4×10¹¹，强自然对流混合可免搅拌动力。但放热反应面临温度失控（Frank-Kamenetskii 分析）风险，Gr 评估决定搅拌必要性与冷却套管设计。本工具将 L 改 2 m、ΔT 改 10 K 可观察。
常见误区与注意事项
最常见误区是「只看格拉晓夫数就能评价自然对流」 。实际上 Gr 仅含浮力 vs 粘性，忽略热扩散（Pr）。瑞利数 Ra = Gr·Pr 才是真实支配数。空气（Pr=0.7）与水（Pr=7）同 Gr 下 Ra 差 10 倍，自然对流行为天壤之别。本工具固定 Pr=0.7（空气），处理水或油时需用分别的 Churchill-Chu 相关或添加 Pr 滑块。教科书通常并举 Gr 和 Ra。
次常见误区是「Ra=10⁹ 一定就是湍流」 的过度简化。实际遷移因形状（竖板·水平圆柱·水平圆盘·球）和边界条件（等温壁·等热流壁）大异。竖板等温壁 Ra ≈ 10⁹，水平圆柱 Ra ≈ 10⁷，水平加热面（向上）Ra ≈ 10⁷，向下则对流被抑制（純热传导 Nu ≈ 1）。本工具专用竖板 Churchill-Chu，不同形状需选相应相关，否则误差可超 ±30%。
第三误区是「强制对流和自由对流分开评价」 。实际多为"混合对流"共存，Gr/Re² 值决定主导机制。Gr/Re² > 10 自由对流主导，< 0.1 强制对流主导，中间需混合相关（例 Nu_mix³ = Nu_forced³ + Nu_natural³）。室内空调（低风速）、屋外配管（微风）、供暖房间都是典型混合对流，本工具单独 Gr 评估会严重低估。