默认值（ΔT=75 K、L=0.5 m、β=3.0×10⁻³ /K、ν=1.6×10⁻⁵ m²/s、Pr=0.7 为空气）下，Gr ≈ 1.08×10⁹、Ra ≈ 7.55×10⁸、Nu ≈ 113.2，判定为"层流"。Pr 固定为空气的 0.7，Ra=10⁹ 为层流/湍流转捩点。
高温竖直平板（红色）旁上升的暖空气流（红色箭头）与从远处流入的冷空气（蓝色箭头）。黄色曲线为厚度约 δ ≈ L·Ra^(-1/4) 的热边界层，Ra 越大越薄、传热驱动越强。平板上的颜色渐变表示温度梯度。
横轴：Rayleigh 数 Ra（log10，10³〜10¹²）/ 纵轴：Nusselt 数 Nu（log10）/ 蓝色实线：Churchill-Chu 关联 / 红色竖线：Ra=10⁹ 层流/湍流分界 / 黄色标记：当前 (Ra, Nu) 工作点 / 层流区 Nu ∝ Ra^(1/4)，湍流区 Nu ∝ Ra^(1/3)，斜率发生变化。
Grashof 数：自然对流中浮力（由温差引起的密度差）与粘性力之比的无量纲数。
$$\mathrm{Gr} = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu^2}$$
Rayleigh 数为 Gr 乘以 Prandtl 数 $\mathrm{Pr}=\nu/\alpha$，是自然对流的真正主控参数：
$$\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\cdot\mathrm{Pr}$$
竖直平板自然对流 Nu 由 Churchill-Chu 关联在全 Ra 范围内统一描述：
$$\mathrm{Nu} = \left\{0.825 + \frac{0.387\,\mathrm{Ra}^{1/6}}{[\,1+(0.492/\mathrm{Pr})^{9/16}\,]^{8/27}}\right\}^{2}$$
$g$ 是重力加速度（9.81 m/s²），$\beta$ 是热膨胀系数（理想气体为 $1/T$），$\Delta T$ 是表面与环境的温差，$L$ 是特征长度（竖直平板时取板高），$\nu$ 是运动粘度，$\alpha$ 是热扩散率。Ra < 10⁹ 为层流，Ra ≥ 10⁹ 转为湍流。
什么是格拉斯霍夫数模拟器
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老师，传热课讲到自然对流的 Grashof 数，但我搞不清它和 Reynolds 数有什么区别。两个都是无量纲数，到底什么时候用哪个？
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好问题。Reynolds 数 Re = ρUL/μ 是"外加的惯性力与粘性力之比"，描述泵或风扇强行驱动流动的强迫对流；Grashof 数 Gr = gβΔTL³/ν² 是"温差产生的浮力与粘性力之比"，描述完全由流体自身浮力驱动的自由对流。本工具默认值（空气、ΔT=75 K、L=0.5 m、β=3×10⁻³ /K、ν=1.6×10⁻⁵ m²/s）下 Gr ≈ 1.08×10⁹，相当于"站在家用取暖器前"+"50 cm 高的竖板"的典型情形。无风扇的 IT 设备自然空冷或外墙的隔热评估中，Gr 都是主控参数。
🙋
那为什么还要乘上 Pr 得到 Ra = Gr·Pr？只看 Gr 不行吗？
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本质性的问题。Gr 只反映"浮力压过粘性的程度"，但自然对流能否起来还取决于"热是否扩散得太快以至浮力建立不起来"。这就用 Pr = ν/α 表达，Ra = Gr·Pr 是浮力驱动与"粘性+热扩散阻尼"的综合比。所以自然对流的真正主控数是 Ra。空气（Pr=0.7）的 Ra ≈ 0.7·Gr，水（Pr=7）的 Ra ≈ 7·Gr，差了一个数量级——水的 Pr 大，更容易发生自然对流。本工具默认值给出 Ra ≈ 7.55×10⁸，刚好略低于层流/湍流分界 Ra=10⁹。把 ΔT 提到 100 K，就能看到 Ra 越过 10⁹ 进入湍流区。
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图上 Ra=10⁹ 的红色竖线和 Churchill-Chu 的蓝色曲线，为什么在 Ra=10⁹ 处斜率发生变化？
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观察得很仔细。层流自然对流边界层给出 Nu ∝ Ra^(1/4) 缓慢增长，但 Ra 越过 10⁹ 进入湍流后 Nu ∝ Ra^(1/3)，斜率变陡，这是湍流混合一举增强传热的体现。Churchill-Chu 关联 Nu = {0.825 + 0.387 Ra^(1/6) / [1+(0.492/Pr)^(9/16)]^(8/27)}² 用一个表达式平滑连接层流与湍流两个区域。本工具默认（Ra ≈ 7.55×10⁸、Pr=0.7）下 Nu ≈ 113.2，对应空气（k ≈ 0.026 W/(m·K)）的传热系数 h = Nu·k/L ≈ 5.9 W/(m²·K)，正好处在空气自然对流"5〜25"典型范围的中段。点击 ΔT 扫描按钮，可以看到黄色标记越过红线进入湍流区。
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把热膨胀系数 β 从 3 提到 10，Gr 增加 3 倍以上。β 到底是什么物性？空气和水差很多吗？
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重要点。热膨胀系数 β = -(1/ρ)(∂ρ/∂T)|_p 表示温度每升 1 K 体积膨胀多少倍，β 越大，温差产生的浮力越大。理想气体 β = 1/T（T 是绝对温度），300 K 空气 β ≈ 3.3×10⁻³ /K；20°C 水 β ≈ 0.21×10⁻³ /K，约为空气的 1/16，但水的密度是空气的 800 倍，绝对浮力反而更大（小温差就能产生强对流）。乙二醇水溶液（防冻液）β ≈ 0.5×10⁻³ /K，发动机油 β ≈ 0.7×10⁻³ /K。调节 β 滑块可以看到同一 ΔT、L 下不同流体的 Gr 差异——设计时一定要查所用流体的 β。
常见问题
什么是 Grashof 数？
Grashof 数 Gr = gβΔTL³/ν² 是自然对流中浮力（由温差引起的密度差产生）与粘性力之比的无量纲数。g 是重力加速度，β 是流体的热膨胀系数（理想气体为 1/T），ΔT 是表面与环境的温度差，L 是特征长度（竖直平板时取板高），ν 是运动粘度。在本工具的默认值（ΔT=75 K、L=0.5 m、β=0.003 /K、ν=1.6×10⁻⁵ m²/s，空气）下，Gr ≈ 1.08×10⁹。如果说 Reynolds 数是强迫对流的特征数，那么 Grashof 数就是自然对流的特征数。
Rayleigh 数与 Grashof 数有何关系？
Rayleigh 数定义为 Ra = Gr·Pr，即 Grashof 数乘以 Prandtl 数 Pr = ν/α（动量扩散与热扩散之比）。Ra 综合反映浮力驱动与粘性、热扩散阻尼的比值，是自然对流发生与转捩的真正主控参数。对竖直平板而言，Ra < 10⁹ 为层流，Ra ≥ 10⁹ 转为湍流。在本工具默认值（空气 Pr=0.7）下 Ra ≈ 7.55×10⁸，刚好处在层流区。略微增大 ΔT 或 L 就会进入湍流区，可观察 Nu 斜率的变化。
Churchill-Chu 关联式是什么？
Churchill-Chu 关联式是用一个公式描述竖直平板自然对流 Nusselt 数在层流到湍流整个 Ra 范围内的经验式：Nu = {0.825 + 0.387 Ra^(1/6) / [1+(0.492/Pr)^(9/16)]^(8/27)}²。本工具默认值（Ra ≈ 7.55×10⁸、Pr=0.7）下 Nu ≈ 113.2。对应的传热系数 h ≈ Nu·k/L 对空气（k ≈ 0.026 W/(m·K)）约为 5.9 W/(m²·K)，是自然对流的典型值。
Grashof 数在哪些场合使用？
Grashof 数用于评估没有风扇或泵、完全由流体浮力驱动的自由对流传热。典型例子：(1) 电子设备的无风扇自然空冷散热器；(2) 建筑外墙、窗玻璃周围由空气对流引起的热损失；(3) 管道保温/散热；(4) 化工反应器内液体的自然对流混合；(5) 核反应堆失电时的自然循环冷却。当强迫对流（Re）与自由对流（Gr）共存（混合对流）时，可通过 Gr/Re² 判断主导机制（>10 浮力主导，<0.1 强迫对流主导）。
现实应用
电子设备的无风扇自然空冷散热器： 在追求静音的服务器或嵌入式设备中，CPU 上的散热器（翅片高度 L=50 mm、ΔT=40 K）下 Gr ≈ 4×10⁵、Ra ≈ 3×10⁵，本工具输入相同值可得 Nu ≈ 12、h ≈ 6 W/(m²·K)。要散去 30 W，所需面积 A = Q/(h·ΔT) = 30/(6·40) = 0.125 m²，Grashof 数评估直接影响翅片几何优化。
建筑外墙与隔热设计： 住宅外墙（高度 L=3 m、ΔT=20 K，室内 22°C、室外 2°C）下空气 Gr ≈ 1.8×10¹⁰、Ra ≈ 1.3×10¹⁰，本工具可确认进入湍流自然对流区。Nu ≈ 230、h ≈ 2 W/(m²·K)，100 m² 外墙的自然对流热损失 100·2·20 = 4 kW。通过双层玻璃和保温材料调整 Gr/Ra，是低能耗建筑设计的核心。
核反应堆自然循环冷却（被动安全系统）： 福岛事故后受到重视的"断电时自然循环冷却"中，压力容器衰变热使水产生密度差，无需泵即可形成循环回路。堆芯高度 L=4 m、ΔT=50 K，加压水 β ≈ 1×10⁻³ /K、ν ≈ 1.3×10⁻⁷ m²/s 下 Gr ≈ 7×10¹³，强湍流自然对流足以带走衰变热。本工具的 ν 滑块下限为 0.1×10⁻⁵，请用稍高一个数量级的设定来再现这一情形。
化工反应器的温度均一性控制： 大型间歇反应器（直径 L=2 m、ΔT=10 K）中水溶液（β ≈ 0.3×10⁻³ /K）不搅拌反应时 Gr ≈ 1.4×10¹¹，强自然对流足以混合流体。优点是省去搅拌动力，但放热反应有热失控风险（Frank-Kamenetskii 分析），因此 Grashof 数评估直接决定是否需要搅拌器与冷却夹套。请把本工具 L 设为 2 m、ΔT 设为 10 K 来观察。
常见误解与注意事项
最常见的误解是 "只看 Grashof 数就能评估自然对流" 。实际上 Gr 只反映浮力与粘性之比，包含热扩散（Pr）的 Rayleigh 数 Ra = Gr·Pr 才是真正的主控参数。空气（Pr=0.7）和水（Pr=7）在同一 Gr 下 Ra 差一个数量级，自然对流行为差异巨大。本工具假设空气并固定 Pr=0.7，处理水或油时需要采用 Pr 适配的 Churchill-Chu 关联或将 Pr 也作为滑块。教科书通常把 Gr 与 Ra 并列报告。
其次是 "Ra 超过 10⁹ 就一定是湍流" 的简单理解。实际转捩点依几何（竖直平板、水平圆柱、水平圆盘、球等）与边界条件（等温壁、等热流壁）而大不相同。等温竖直平板的转捩约在 Ra=10⁹，水平圆柱约 10⁷，向上加热的水平面约 10⁷，向下加热的水平面对流被抑制，Nu 接近 1（几乎纯导热）。本工具针对竖直平板的 Churchill-Chu，实际几何需要选用相应的关联式。
最后是 "强迫对流与自然对流可以分开评估" 的误解。实际设备多为两者共存的"混合对流"，由 Gr/Re² 判断主导机制：>10 浮力主导，<0.1 强迫对流主导，中间区段需要联合关联（如 Nu_mix^3 = Nu_forced^3 + Nu_natural^3）。室内空调（低风速）、室外管道（微风）、供暖房间都是典型混合对流情形，仅凭本工具的 Gr 评估会低估传热。