参数设置
泊松比 ν = 0.30 固定。默认值为钢板（E=210 GPa、ρ=7800 kg/m³、h=1.0 mm、f=100 kHz），是 SHM 中常用的薄板情形。
平板侧视图 — S_0/A_0 位移图样
上段=S_0 模态（板厚方向对称，面内伸缩）/下段=A_0 模态（板厚方向反对称，面外弯曲）。波长分别为 λ_S0 与 λ_A0。
频散曲线 — ω·h vs 相速度
横轴=ω·h [rad/s·mm]/纵轴=相速度 c_p [m/s]。蓝线=S_0（水平·非频散）/橙线=A_0（∝ √(ω·h)）。黄点=当前工作点。
理论与主要公式
兰姆波基本模态相速度的低频近似（泊松比 ν = 0.30 固定）：
$$c_{S_0} = \sqrt{\frac{E}{\rho\,(1-\nu^2)}}$$
S_0 模态（板内伸缩波）：非频散，不依赖频率。E 为杨氏模量 [Pa]，ρ 为密度 [kg/m³]，ν 为泊松比。
$$c_{A_0}(\omega) = \sqrt{\omega}\,\left(\frac{E\,h^{2}}{12\,\rho\,(1-\nu^2)}\right)^{1/4}$$
A_0 模态（板弯曲波，Kirchhoff 薄板近似）：频散，ω = 2πf，h 为板厚 [m]。频率升高时相速度也增大。
$$\lambda = \frac{c}{f}$$
波长 λ：相速度除以频率。SHM 缺陷分辨率约为 λ/2。
什么是兰姆波频散
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兰姆波在超声无损检测里经常听到，它跟普通声波到底有什么区别？
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好问题。普通的纵波（P 波）和横波（S 波）在无限介质中传播，而兰姆波是被两个自由表面"夹"在板里的导波（waveguide）模态，波长一般和板厚相当或更短。比如 1 mm 厚钢板在 100 kHz 下激励，S_0 波长 54 mm、A_0 波长 10 mm。整块板都在协同振动，所以一对换能器就能覆盖大片区域，非常适合 SHM。
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为什么同一块板里 S_0 比 A_0 快五倍？这有点反直觉。
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因为变形方式完全不同。S_0 是板内拉压变形，受拉伸刚度 E 直接控制，所以 c_S0 = √(E/(ρ(1−ν²))) ≈ 5439 m/s 很快。A_0 是板面外弯曲变形，薄板理论中只有弯曲刚度 D = Eh³/(12(1−ν²)) 起作用，c_A0 ∝ √(ω·h)，所以低频下速度很慢，h=1 mm、f=100 kHz 时只有约 993 m/s。把板厚拉大试试，你会发现只有 A_0 的速度在变。
🙋
频散曲线里只有 A_0 是弯的，这就是"频散"的意思吗？
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对，这正是"频散（dispersion）"——相速度依赖频率。A_0 满足 c_A0 ∝ √ω。实际工程上这是个麻烦，因为脉冲在传播中会"展宽"，不同频率分量速度不同。所以远距离 SHM 偏爱非频散的 S_0，或者用群速度 v_g = dω/dk 做补偿。你可以看到蓝线（S_0）保持水平，橙线（A_0）则向右上弯曲。
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这种技术真的用在飞机蒙皮和桥梁钢板的健康监测里吗？
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完全是主流。飞机 CFRP 蒙皮、桥梁与储罐钢板、核电厂管道——到处都装了兰姆波 SHM 系统。典型做法是在板上贴 PZT 压电片阵列，激励/接收 50-500 kHz 兰姆波，根据缺陷（裂纹、剥离、腐蚀减薄）引起的反射和散射信号定位损伤。波音 787 机翼、新干线车体检测都在用。你可以在 50-500 kHz 这个常用频段扫一下，看看 λ_A0 是怎么变化的。
常见问答
高阶模态在所谓"截止频率"以上才会出现。对钢而言，A_1 截止频率约 fh ≈ 1.6 MHz·mm，S_1 约 2.7 MHz·mm。虽然本工具的 fh 范围能超过这些值，但 Kirchhoff 薄板理论只能描述两个基本模态。要完整求解 Rayleigh-Lamb 方程必须用数值频散求解器（如 GUIGUW、Disperse 等）。本工具定位为低频薄板近似下的教学工具，对 fh > 1 MHz·mm 的高频区域，建议改用专业频散求解器。
相速度 c_p = ω/k 是单频波峰的传播速度；群速度 v_g = dω/dk 是波包（脉冲）能量的传播速度。非频散模态 S_0 满足 c_p = v_g。对频散的 A_0，Kirchhoff 薄板理论给出 v_g = dω/dk = 2c_p，即弯曲波包的速度是单个波峰的两倍。SHM 系统通过脉冲到达时间反推距离时必须使用群速度，而不是本工具显示的相速度。
本工具假设各向同性材料（金属、玻璃等）。CFRP 是各向异性叠层材料，沿纤维方向和横向的刚度差异很大，兰姆波速度也随传播方向变化。实际 CFRP 分析需要使用每层的刚度矩阵 [Q] 和高阶板理论（一阶剪切变形、Mindlin 等）或专业数值求解器。准各向同性铺层情况下，本工具的近似可以给出 10-20% 精度的参考值。CFRP 沿纤维方向 E 约 135 GPa，垂直方向只有 9 GPa，差别很大。
Kirchhoff 薄板理论在波长 λ 至少为板厚 h 的 6 倍（约 fh < 0.3 MHz·mm）的区域内误差小于 5%。本工具的 A_0 公式 c_A0 = √ω·(Eh²/(12ρ(1−ν²)))^(1/4) 建立在此假设之上。当薄板被高频（fh > 1 MHz·mm）激励或厚板情况下，必须考虑剪切变形和转动惯量，需要 Mindlin-Reissner 厚板理论或完整 Rayleigh-Lamb 解。默认值（h=1 mm、f=100 kHz、fh=0.1 MHz·mm）位于安全范围内。
实际应用
飞机结构健康监测：波音 787、空客 A350 的碳纤维复合材料蒙皮上布置着 50-200 个 PZT 压电片阵列，运行在 50-300 kHz 频段，对在役冲击损伤特别是几乎不可见冲击损伤（BVID）进行实时监测。本工具计算出的 S_0/A_0 波长决定了实机所需的传感器间距（典型 100-500 mm）。
桥梁与储罐钢板的长距离超声检测（LRUT）：油罐底板、桥梁翼缘与腹板、高压气体管道等的长距离检测，普遍采用非频散 S_0 模态兰姆波。一次激励可检查 10-30 m 钢板，相比传统点点回波 UT 大幅省工。Guided Ultrasonics 的 Wavemaker、Olympus 的 Teletest 是代表性商用系统，本工具给出的 S_0 波长（数 cm 到数十 cm）即是其运行频率选择的依据。
核电厂管道与蒸汽发生器传热管检测：核电厂管道（20-30 mm 厚的 SUS304/SUS316L 钢）和蒸汽发生器传热管（Inconel 600，壁厚 1.2-2 mm）的内部腐蚀和应力腐蚀开裂（SCC）检测都使用兰姆波。薄壁传热管中 A_0 模态灵敏度尤其高，能识别剥离和减薄。日本电力公司在 PWR 和 BWR 定期检查中均将其纳入标准项目。
新干线与汽车焊接处检测：新干线铝车体的电阻点焊处、汽车钢板焊缝的质量检查也用兰姆波技术完成。焊核处的散射和反射特性能直接反映焊核尺寸与缺陷（裂纹、气孔），实现产线内的非破坏质量保证。试试把 E=70 GPa、ρ=2700 kg/m³（铝）输入本工具，与钢做对比，差异一目了然。
常见误解
第一，"兰姆波是一种单一的波"是错误的。板中存在无穷个模态（S_0、A_0、S_1、A_1、S_2、A_2…），在给定频率下能传播的模态数由 fh 乘积决定。fh < 1.6 MHz·mm 时只有 S_0 与 A_0 传播，这正是 SHM 系统精心选择激励频率的原因——多模态混叠会让信号无法解读。本工具刻意只保留两个基本模态以保证可读性。
第二，"S_0 的相速度依赖板厚 h"是错误的。本工具的低频 S_0 公式 c_S0 = √(E/(ρ(1−ν²))) 不含 h，因此模型中 S_0 与板厚无关。相反 A_0 强依赖 h，薄板的 A_0 慢。把 h 在 0.5 mm 到 5 mm 之间扫描，会看到只有 A_0 变化。完整 Rayleigh-Lamb 解在高频时 S_0 会出现弱厚度依赖，但在推荐工作范围（fh < 0.3 MHz·mm）内 S_0 与厚度无关是非常好的近似。
第三，"只靠相速度就能定位缺陷"是错误的。实际 SHM 用脉冲包络的到达时间，而包络以群速度 v_g 传播，不是本工具显示的相速度 c_p。Kirchhoff 近似中 A_0 的 v_g = 2c_p，所以默认显示的 c_a0 ≈ 993 m/s 对应实际脉冲速度约 2000 m/s。SHM 系统设计时必须始终牢记此差异。