参数设置
α=−1是古典反对称模式（克拉德尼图形），α=+1是对称模式，|α|<1是混合模式。缩略图列表中黄色框是当前模式。
振动模式热力图 φ(x,y)
蓝色=φ<0（下向位相）／红色=φ>0（上向位相）／白色=|φ|<ε（节线：沙粒聚集处）。在100×100网格上评估Ritz近似模式。
模式缩略图列表 (1..4 × 1..4)
4×4网格展示16种模式(m,n)的节线图案。当前选定模式用黄色框高亮显示。点击可切换到该模式。
理论和主要公式
正方形板（边长为$L$）上的振动模式用x,y方向余弦模式的乘积表示。
Ritz近似合成模式函数（$\alpha$为合成参数）：
$$\phi_{mn}(x,y) = \cos\!\left(\tfrac{m\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\tfrac{n\pi y}{L}\right) + \alpha\,\cos\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\tfrac{m\pi y}{L}\right)$$
节线作为满足$|\phi(x,y)| < \varepsilon$的点集绘制。
Kirchhoff板（边界自由）的相对固有振动数：
$$\frac{f_{mn}}{f_{11}} = \frac{m^2 + n^2}{2}$$
当$\alpha=+1$时为对称模式（对$x\leftrightarrow y$交换不变），当$\alpha=-1$时为反对称模式（古典克拉德尼图形）。中间值产生混合模式，节线呈扭转。
克拉德尼图形模拟器说明
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我在中学音乐室看过"用沙子在金属板上形成图案"的演示。那到底发生了什么？
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那就是克拉德尼图形。1787年Ernst Chladni系统化的一项实验，薄板以共振频率振动时，高振幅的"腹点"会将沙子甩出去，而振幅为零的"节线"处沙子会落下来。所以你看到的是板的振动模式φ_mn(x,y)的节线图案。本模拟器用Ritz近似计算φ，将|φ|<ε的白色区域作为节线绘制。
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m是x方向，n是y方向的半波长数。$\cos(m\pi x/L)$在x方向产生m个腹点，所以(m,n)=(3,5)意味着x方向有3列，y方向有5列腹点。另外，在正方形板中(m,n)和(n,m)是简并的（相同频率），所以固有函数是两者的线性组合$\phi = \cos\!\cos + \alpha\,\cos\!\cos$。α的值会大大改变外观。
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α=−1和α=+1的显示完全不同...是什么原因？
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当α=+1时，交换x↔y后φ保持不变，这是"对称模式"，节线沿对角线排列。当α=−1时，交换后符号反转，这是"反对称模式"，对应于古典克拉德尼图形（条纹或网格图案）。实际沙粒在反对称模式下形成最清晰的图案。点击"α扫描"按钮可看到连续变化的过程。
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"相对振动数17.0"是指以(1,1)模式频率的17倍共振吗？
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正是这样。对于Kirchhoff板（薄板），固有振动数与$(m^2+n^2)$成正比。以基准模式$f_{11}$为1，$(m^2+n^2)/2$就是相对值。默认的(3,5)，$(9+25)/2=17.0$就是这样。实际的绝对频率取决于板的厚度、密度、杨氏模数和边界条件，但"模式间比值"仅由形状决定，所以作为教学指标很方便。
常见问题
本工具可视化模式函数φ(x,y)的节线（|φ|<ε的区域），但没有对个别沙粒的动力学（弹性散射、摩擦、惯性）建模。实际沙粒通过能量最小化过程从高振幅的腹点移动到低振幅的节线，但定常状态下的集积位置与节线基本一致。因此本模拟器的白线对应于实验中沙粒聚集的地方。由于粒子大小和板的阻尼，节线在实际中可能模糊为"节带"，这就对应本工具中的ε参数。
正方形板的固有函数可写成$\cos(m\pi x/L)\cos(n\pi y/L)$的乘积形式，数学最简洁，教学上也最直观。实际上Chladni的实验用过圆形、三角形、各种形状的板。对于圆板，固有函数涉及Bessel函数，节线是同心圆和射线的组合。无论何种形状，"节线是振动振幅为零的几何集合"这一本质是相同的，每种形状会产生特有的克拉德尼图形。
本工具中的φ_mn(x,y)正是有限元法(FEM)特征值分析得到的模式形状。在CAE中，用Ansys/Abaqus/Nastran等软件进行板或壳单元的模态分析，得到各模式的固有振动数和节线图案。对于发动机罩、汽车油盘、硬盘盒等薄板结构，在共振回避设计中需要调整板厚或加强筋位置，使激励频率远离模式频率。克拉德尼图形显示"节线处不承受载荷"，因此在传感器安装位置选择上也有应用。
简并的两个固有模式$\cos(m\pi x)\cos(n\pi y)$和$\cos(n\pi x)\cos(m\pi y)$的线性组合中，系数α的值决定了节线几何的连续变化。在α=±1时，节线是与x或y轴平行的网格状，而|α|<1时模式会呈"扭曲"形状，产生斜向或曲线状节线。这反映了线性代数中简并固有值的固有函数非唯一性的规律。在实际薄板中，由于板厚不均或各向异性等微观差异，也会观察到α±1之外的图案。
实际应用
乐器设计（小提琴、吉他音板）：小提琴的面板和背板设计中，特定频率（如A=440 Hz的倍音）下的模式形状决定了音色。制作者用克拉德尼图形实际撒沙，通过削减来微调节线图案。最终调整至目标的Ton模式、Ring模式、Cross模式等经典模式，板厚分布就完成了。
薄板结构振动疲劳设计：硬盘盘片、汽车地板、飞机蒙皮等薄板结构的振动疲劳破坏主要在高振幅的腹点处因应力集中而发生。通过在节线处放置加强筋或支撑，能大幅延长激励频率下的疲劳寿命。设计时用FEM分析固有模式，对比本工具的节线图和腹分布。
传感器和致动器位置选择：在板上贴压电传感器(PZT补片)进行加速度测量时，在节线上贴传感器无法拾取模态分量，在腹处贴则对特定模式过度响应。要区分多个模式，需选择各模式的节线互不重叠的位置，克拉德尼图形的叠加就是设计的指南。同样的原理也应用于致动器激励位置的选择。
非破坏检测（模态测试）：板和管道的损伤检测中，通过加振实验得到的振动模式与健全状态比较。当存在裂纹或连接不良时，模式频率会偏移，节线图案也会局部变形，可以克拉德尼图形的变化来检测。与打击测试(Impact-Hammer Test)或扫描激光振动计(LDV)结合，用于桥梁、储罐、汽轮机叶片的健康监测。
常见误解和注意事项
最常见的误解是"因为克拉德尼图形是实体的物理现象，模拟中也应该模拟沙粒运动"。实际上克拉德尼图形是"定常状态下节线的几何位置"，不需要再现瞬态沙粒流动。本模拟器直接绘制振动模式函数φ(x,y)的节线，这与实验中沙粒最终聚集的位置相一致。动态粒子模拟在可视化上有趣，但会得出相同的图形，所以理解节线几何时不必要。
其次常见的误解是"相对振动数(m²+n²)/2就直接是绝对频率（Hz）"。实际的绝对频率为$f_{mn} = C \cdot (m^2+n^2)/L^2 \cdot \sqrt{D/\rho h}$，强烈依赖于板的纵弹性系数E、密度ρ、厚度h、长度L、泊松比和边界条件（自由/简支/固定）。本工具显示的17.0是"以(1,1)模式为1的相对比"，虽然是很好的教学指标，但实际设计必须用FEM或测量来确认绝对值。
最后，"除α=±1以外的模式不存在"的误解也很危险。理想的正方形板（完全各向同性、完全对称边界）中α=±1才是固有函数，但实物板由于板厚不均、材料各向异性、边界条件微小非对称性等，也会存在对应α中间值的"混合模式"。本工具中连续改变α时能观察到节线逐渐倾斜，这正是实验中出现"教科书不符合"图案的物理原因。这是学习简并特征值和微扰关系的好例题。
具体计算示例
厚度2mm铝板(ρ=2700kg/m³,E=70GPa)100mm×100mm的情况下，(m,n)=(1,1)的基本模式固有振动数约为52Hz。设置(2,2)模式时，相对振动数f/f_11≈2.37，实际频率约为123Hz，节线形成与正方形对角线平行的2×2网格图案。将Mix参数混合(1,1)和(2,1)各50%时，节线交叉数增加，形成复杂干涉图样