参数设置
α=−1 为古典的反对称模态（克拉尼图形），α=+1 为对称模态，|α|<1 为混合模态。缩略图网格中黄色边框为当前模态。
振动模态热图 φ(x,y)
蓝＝φ<0（向下相位）／红＝φ>0（向上相位）／白＝|φ|<ε（节线，砂粒聚集处）。在 100×100 网格上估值 Ritz 模态。
模态缩略图网格 (m,n = 1..4)
4×4 网格展示 16 种 (m,n) 模态的节线图样。当前模态以黄色边框高亮，点击缩略图可切换至该模态。
理论与主要公式
边长为 $L$ 的方板上的振动模态可写成 $x$、$y$ 方向余弦的乘积。
两个简并模态的 Ritz 组合（$\alpha$ 为合成参数）：
$$\phi_{mn}(x,y) = \cos\!\left(\tfrac{m\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\tfrac{n\pi y}{L}\right) + \alpha\,\cos\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\tfrac{m\pi y}{L}\right)$$
满足 $|\phi(x,y)| < \varepsilon$ 的像素被视为节线。
自由边基尔霍夫板的相对固有频率：
$$\frac{f_{mn}}{f_{11}} = \frac{m^2 + n^2}{2}$$
$\alpha=+1$ 给出对称模态（对 $x\leftrightarrow y$ 互换不变），$\alpha=-1$ 给出反对称的克拉尼模态，中间值为混合模态——节线沿对角线扭曲。
克拉尼图形模拟器是什么
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中学物理课上看到过「金属板上撒砂出现图样」的实验，这到底发生了什么？
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那就是克拉尼实验，1787 年 Ernst Chladni 系统化整理。把薄板按其某一共振频率激励时，砂粒在高振幅的「腹」上被抛起，落到振幅为零的「节线」上。所以板的振动模态 φ_mn(x,y) 的节线被看见了。本模拟器用 Ritz 近似计算 φ，并把 $|\phi| < \varepsilon$ 的像素绘成白色节线。
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m 是 x 方向的半波数，n 是 y 方向的半波数。$\cos(m\pi x/L)$ 在 x 方向有 m 个腹，所以默认 (m,n)=(3,5) 时 x 方向有 3 列腹、y 方向有 5 列腹。在方板上 (m,n) 与 (n,m) 简并（同频率），因此本征函数是它们的线性组合 $\phi = \cos\!\cos + \alpha\,\cos\!\cos$。α 不同看到的图样会大不同。
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α=−1 与 α=+1 看起来完全不同！发生了什么？
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α=+1 时模态对 x↔y 互换不变（对称模态），节线倾向沿对角线方向排列。α=−1 时互换符号反转（反对称模态），对应古典的克拉尼图形（条纹与网格）。真实砂粒在反对称模态下绘出最清晰的图样。点击「扫描 α」就能看到二者之间的连续过渡。
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「相对频率 17.0」是不是表示在 (1,1) 模态的 17 倍频率共振？
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是的。基尔霍夫薄板的固有频率 $f_{mn} \propto (m^2+n^2)$，以基本模 $f_{11}$ 归一化得 $(m^2+n^2)/2$，所以默认 (3,5) 为 $(9+25)/2 = 17.0$。绝对频率取决于板厚、密度、杨氏模量与边界条件，但模态间比值仅由几何决定，因此适合作为教学指标。
常见问题
本工具可视化的是模态函数 φ(x,y) 的节线（|φ|<ε 的区域），并未对单个砂粒的动力学（弹性碰撞、摩擦、惯性）进行建模。实际砂粒因从高振幅腹向低振幅节移动的能量极小化过程而聚集，但定常状态的聚集位置基本上与节线一致，因此本工具的白线对应实验中砂粒最终聚集的位置。颗粒大小和板的阻尼会让节线模糊成「节带」，这正是本工具 ε 参数所对应的物理量。
方板的本征函数可写成 $\cos(m\pi x/L)\cos(n\pi y/L)$ 的乘积，公式最为简洁，最适合作为教学起点。Chladni 的原始实验中使用了圆形、三角形、不规则形状等多种几何。圆板的本征函数为 Bessel 函数，节线由同心圆与径向直线组合构成。形状不同会得到不同的克拉尼图形，但「节线是本征函数零点轨迹」的本质相同。
本工具中 φ_mn(x,y) 正是有限元法 (FEM) 特征值分析得到的模态形状。CAE（如 Ansys、Abaqus、Nastran 等）对板/壳单元做模态分析，可输出每个模态的固有频率与节线图样。在引擎盖、汽车油底壳、HDD 外壳等薄板共振规避设计中，工程师调整板厚和加强筋布置，使激励频率远离模态频率。克拉尼图形也用于传感器/作动器位置选择——节线上检测不到该模态。
两个简并本征函数 $\cos(m\pi x)\cos(n\pi y)$ 与 $\cos(n\pi x)\cos(m\pi y)$ 的线性组合也是本征函数，节线几何随系数 α 连续变化。α=±1 时节线沿 x 或 y 轴方向；|α|<1 时模态「扭曲」，出现对角线或曲线节线。这是量子力学/线性代数中本征模简并的一般现象——本征值简并时本征函数不唯一。真实板若有微小各向异性（板厚不均等），α 会偏离 ±1，便能解释「教科书图样不出现」的实验现象。
实际应用
乐器设计（小提琴/吉他面板）：小提琴面板/背板的设计中，特定频率（A=440 Hz 的泛音等）下的模态形状决定音色。制琴师真的撒砂在板上、根据克拉尼图样削薄木材进行微调，使最终的 T1 模态、环模态、十字模态等古典模态形状达到目标几何。
板结构的振动疲劳设计：HDD 磁盘、汽车地板面板、飞机蒙皮等薄板结构，其疲劳破坏多发生在腹（最大振幅）部位的应力集中处。在节线位置布置加强筋或紧固件可大幅延长激励频率下的疲劳寿命。FEM 模态分析与本工具风格的节线图相结合是标准设计手段。
传感器/作动器位置选择：压电传感器（PZT 贴片）若贴在节线上则完全检测不到该模态；若贴在腹上则对该模态过于敏感。要区分多个模态，应选择各模态节线不重叠的位置，克拉尼图形的叠加给出设计指南。同样的逻辑也适用于驱动选定模态的作动器布置。
非破坏性模态测试：板与管道的损伤检测中，将激振实验得到的振动模态与健全状态对比。存在裂纹或脱粘时，模态频率发生偏移、节线图样局部变形，可作为克拉尼图形的变化被检测到。结合冲击锤试验或扫描激光多普勒振动计 (LDV)，应用于桥梁、储罐、涡轮叶片的健康监测。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「克拉尼图形是真实物理现象，模拟也必须移动砂粒」。其实克拉尼图形是「节线的稳态几何位置」，无需再现砂粒的瞬态流动。本模拟器直接绘制振动模态函数 φ(x,y) 的节线，与实验中砂粒最终聚集的位置一致。粒子动力学模拟作为可视化很有趣，但最终收敛到同一图形，对理解节线几何而言并非必要。
第二常见的错误是把相对频率 (m²+n²)/2 当作绝对频率（Hz）。实际绝对频率为 $f_{mn} = C \cdot (m^2+n^2)/L^2 \cdot \sqrt{D/\rho h}$，依赖板的杨氏模量 E、密度 ρ、厚度 h、边长 L、泊松比与边界条件（自由、简支、固支）。本工具显示的 17.0 是「以 (1,1) 模态归一化的相对比值」，作为教学指标有用，但工程设计时必须用 FEM 或测量验证绝对值。
最后，不要认为「α=±1 之外的模态不存在」。在理想方板（完全各向同性、完全对称边界）上 α=±1 是本征函数，但真实板由于板厚不均、材料各向异性、边界条件的微小不对称，会出现 α 取中间值的「混合模态」。在本工具上连续改变 α，可以看到节线沿对角线扭曲的过程，这正是实验中出现「与教科书不同」图样的物理原因。这是直观学习本征值简并与摄动理论关系的好例子。