参数设置
噪声由确定性 LCG 生成，相同的种子始终给出相同的波形。
接收信号、滤波器系数与输出波形
上=接收信号 r[n] = s[n] + n[n]（蓝）/ 中=滤波器系数 h[n] = s[L−1−n]（绿）/ 下=输出 y[n]（红，黄点=峰值）
理论与主要公式
用已知信号的时间反转 h[n] = s[L−1−n] 对接收信号 r[n] = s[n] + n[n] 作卷积，输出在信号到达位置取得峰值——这就是匹配滤波器。
滤波器输出。* 表示卷积：
$$y[n] = \sum_{k=0}^{L-1} h[k]\,r[n-k] = (h * r)[n]$$
输入 SNR 与输出峰值 SNR。E_s = A²·L 为信号能量：
$$\mathrm{SNR}_\mathrm{in} = \frac{A^2}{\sigma^2}, \qquad \mathrm{SNR}_\mathrm{out} = \frac{E_s}{\sigma^2} = \frac{A^2 L}{\sigma^2}$$
匹配滤波器的处理增益（等于脉冲长度）：
$$G = \frac{\mathrm{SNR}_\mathrm{out}}{\mathrm{SNR}_\mathrm{in}} = L$$
脉冲越长增益越大，即使输入 SNR 较低也能完成检测。这是雷达脉冲压缩与通信整合接收的基本原理。
什么是匹配滤波器模拟器
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雷达书里经常提到「匹配滤波器」，是不是从噪声堆里把信号「挖出来」的工具？
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大致就是这样。简单说，如果你事先知道要找的波形，就可以把它当作「尺子」，去和接收信号求相关，反应最强的地方就是信号所在。具体做法是把滤波器系数取成 $h[n]=s[L-1-n]$（已知信号的时间反转），再与接收的 $r[n]$ 作卷积，输出在信号到达时刻取峰值。在上面的模拟器里对比「接收信号」与「输出 y[n]」：原始接收里看不到脉冲，但输出的红线在中间附近会陡然跳起来。
🙋
真的看到了！那 SNR 更差（噪声更大）时它还有效吗？
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这正是它厉害的地方。把噪声标准差 σ 调到 3、4。接收信号已经完全被淹没，啥也看不到了，但输出里的峰还在。原因是输出 SNR 相对输入提升了 L 倍——也就是脉冲长度倍。默认 L=20 就是 13 dB 的改善，L=100 就是 20 dB。
🙋
那是不是「脉冲越长增益越大」，无限拉长就能检测任何信号？
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理论上是，但实机里没这么简单。脉冲一长，距离分辨率就变差（雷达里就「分不清目标在哪」了）。实机用啁啾信号（LFM）来同时实现「长」和「分辨率高」，这就是所谓的「脉冲压缩」。模拟器虽然是矩形脉冲，但原理完全一样——和已知波形求相关，就能拿到脉冲长度倍的增益。
🙋
移动「随机种子」滑块时，峰值数字一直在变。怎么也不会正好等于理论值 20…
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观察很好。理论峰 $E_s = A^2 L$ 只考虑了信号，实际的峰值位置上还叠加了噪声项，其标准差约为 $\sigma\sqrt{L}\cdot A$。L=20, A=1, σ=1 时大约 ±4.5。所以观察到的峰会在 20 附近、15～25 之间波动。变种子等于看不同的噪声实现——这就是检测统计的「随机性」最直观的体现。
常见问题
不。$h[n] = s[L-1-n]$ 这种简单形式只在噪声为白噪声（平坦谱）时最优。对有色噪声（频谱非平坦），最优方案是「白化匹配滤波器」：先用噪声谱 $S_n(f)$ 的逆滤波器把接收信号白化，再做匹配。实践中通常先估计噪声谱再做逆滤波，或在匹配滤波器中对噪声较小的频带加重。
相关 $R_{sr}[\tau] = \sum_n s[n]\,r[n+\tau]$ 与卷积 $y[\tau] = \sum_n h[n]\,r[\tau-n]$ 在取 $h[n] = s[L-1-n]$ 时数学上等价。教材常称为「相关器」，但工程实现中更常把系数反转后用卷积来做。本模拟器也是这样构建滤波器系数的。物理上可以理解为「在每个位移下计算已知波形与接收信号的重叠程度」。
是的。每个数字通信接收机里都会有一个与发送符号脉冲整形（如根升余弦 RRC）相匹配的接收滤波器。发送端的根 RRC × 接收端的根 RRC 合起来是升余弦，满足奈奎斯特无符号间干扰条件，同时使每符号的 SNR 最大。在 AWGN 信道下，这就是 BER 最小的最优接收器。
主要有两点。一是时间分辨率：脉冲越长增益越大，但输出峰也变宽，邻近目标更难分离。雷达用脉冲压缩（LFM、相位编码）实现「长且尖」。二是适应性：匹配滤波器对特定的 $s[n]$ 是「死板」的，波形稍微偏离（如多普勒频移、编码错误）增益就会迅速下降。实机设计时需要把这种失配也考虑进去。
实际应用
雷达脉冲压缩：雷达是匹配滤波器最大的舞台。发送脉冲嵌入 LFM（线性调频/啁啾）或相位编码（巴克码），接收端与该波形求相关，从而同时获得长脉冲的能量（=作用距离）和短脉冲的分辨率。气象雷达、空中交通管制、防务、卫星 SAR——几乎所有现代雷达都依赖这个原理。
数字通信中的整合接收：从 4G/5G 的 OFDM、卫星通信，到 Wi-Fi 和蓝牙，每一种接收机都包含与发送符号脉冲整形相匹配的接收滤波器。它就是 AWGN（加性白高斯噪声）信道下 BER 最小的最优接收机——最贴近香农极限的实现——作为基带解调链的一部分工作。
声呐与地震勘探：潜艇主动声呐、多波束水深测量、地震波折射勘探等，都把与已知发送波形求相关作为标准方法。在水中、地下这种低 SNR 环境中，没有脉冲压缩就无法兼顾远距离与高分辨率。地球物理勘探中的可控震源（Vibroseis）就是对连续扫频波形做相关处理。
引力波探测（LIGO）：2015 年首次直接探测到引力波 GW150914 时，也是用黑洞双星合并的波形模板库与观测数据做匹配滤波。把数百万个模板并行匹配，相关值最大的被判为「探测」。把极弱信号从巨大噪声中挖出来，这是该原理被推到极限的应用。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为「匹配滤波器把信号本身放大了」。实际上信号能量只是在时间上被「压缩」到峰值位置，绝对能量并未增加。$E_s = A^2 L$ 的能量在输出中以约一个采样宽度的峰值 $A^2 L$ 呈现，仅此而已。在模拟器中改变脉冲长度 L，可见输出峰值随 L 线性增长。「信号在时间上集中、噪声不集中」——这才是 SNR 改善的本质。
其次常见的错误是误以为「脉冲长度加倍就增益加倍（SNR 多 3 dB）」。单独看匹配滤波器确实是 G = L，加倍就是 +3 dB。但实际雷达和通信通常有「平均功率约束」，把脉冲拉长会使幅度 A 下降，$E_s = A^2 L$ 不会简单地线性增加。本模拟器允许独立调整 A 和 L，正适合用来把这两种作用分清楚。
最后请留意，不要期望实测峰值「正好」等于理论值。理论峰 $E_s = A^2 L$ 忽略了噪声；实际峰值位置上还叠加噪声项 $\sum h[k] n[\text{peak}-k]$，其均值为零、标准差约 $\sigma\sqrt{L}\cdot A$。默认参数（A=1, L=20, σ=1）下，理论值 20 周围约有 ±4.5 的波动。在模拟器中改变「随机种子」观察峰值，可以直观感受到检测是一个随机变量。在实际系统的检测门限设计中，正是这种噪声波动决定了「虚警概率」和「检测概率」的取舍。