参数设置
提案与受理判定使用随机数（Math.random ＋ Box–Muller 法）。当累积 n 个样本后，动画会自动重置并重复演示收敛过程。
目标分布、直方图和随机游走
上=直方图（绿色）逐渐收敛到目标密度（黄色），每次提案以 接受=绿 / 拒绝=红 显示；下=链的随机游走 x_t。
理论和主要公式
大都市-哈斯廷斯法从高斯提案分布 $q$ 生成候选 $x'$，以受理概率 $\alpha$ 进行受理/拒绝。如果提案 $q$ 对称，则 $q(x|x') = q(x'|x)$ 相消，只需计算概率密度比。
提案：
$$x' \sim \mathcal{N}(x_t, \sigma_\text{prop}^2)$$
受理概率：
$$\alpha = \min\!\left(1, \frac{\tilde p(x')}{\tilde p(x_t)}\right)$$
更新规则（$u \sim U(0,1)$）：
$$x_{t+1} = \begin{cases} x' & (u \lt \alpha) \\ x_t & (\text{otherwise}) \end{cases}$$
$\tilde p(x)$ 可以是未正规化的密度（因为只使用比值）。一维高斯目标的最优 $\sigma_\text{prop}$ 使受理率约为 44%。
什么是 MCMC 大都市法采样器
🙋
我只想从概率分布采样，为什么要用这种叫做马尔可夫链这样复杂的方法呢？不能从随机数直接生成吗？
🎓
简单说，复杂分布尤其是正规化常数（使积分等于 1 的常数）无法计算的分布，无法直接采样。例如，贝叶斯推断中的事后分布，其分母周边似然度通常是高维积分，无法计算。大都市-哈斯廷斯法的妙处在于它"仅用比值"工作——$p(x')/p(x)$ 的比值中正规化常数相消，只需知道密度的形状。试试将模拟器中的"目标分布类型"设为 1（双峰混合），观察直方图逐渐重现两个山峰。
🙋
我把提案方差 σ_prop 设为 0.1，结果迹线变成一条直线，直方图只能画出一个山峰。这是 bug 吗？
🎓
不是 bug，这是 MCMC 的"混合（mixing）"问题的典型例子。σ_prop 太小时，每步只能走很短的距离，要跨越两个山峰之间的谷需要数千步。看受理率卡，应该是 95% 以上，但这是"几乎每次都接受，但几乎不移动"的状态。反过来 σ_prop=5 时会被大量拒绝，链卡在一个地方。受理率在 30～50% 是"恰当"的 σ_prop 的目标。
🙋
明白了！那只要选对最优的 σ_prop，就能完美采样了吗？
🎓
还有一个陷阱。相邻的样本相似，所以 N=2000 个样本实际信息量不等于 2000 个独立样本。这用"有效样本数（ESS）"表示，下面自相关图的柱子衰减越快，ESS 就越大。在 CAE 的不确定性量化中，需要先定目标精度对应的 ESS，再从中反推连锁长度。试试改变 σ_prop，看 ESS 卡怎么变化，你会获得直觉。
常见问题
这来自马尔可夫链定常分布必须是目标 p(x) 的"细致平衡条件 p(x)q(x'|x)α(x,x') = p(x')q(x|x')α(x',x)"。当提案 q 对称时 q(x'|x)=q(x|x')，只需用比值 p(x')/p(x) 决定，这是大都市法的核心，也是为什么即使不知道正规化常数也能采样的原因。
Roberts、Gelman、Gilks（1997）对高斯目标的渐近分析表明，最大化有效样本数的最优受理率在一维时为 0.44，在多维时随维数增大趋近 0.234。受理率太高说明步长太小、混合慢；太低则频繁被拒、链停滞。实务中通常以 0.2～0.5 为目标调整 σ_prop。
两个山峰间的谷的概率密度很低，提案落在谷里时概率比会极小，容易被拒绝，导致链无法"跳跃"到另一个山峰。解决方法包括：增大 σ_prop 提高跳跃概率、用多个初值并行运行、或采用平行回火法（Parallel Tempering）升温降低谷的高度。
查看迹线图，找到初始值的影响消失、链开始平稳波动的时刻，以此作为预烧期的目标。本工具默认设为 200 步，但对于复杂分布或不良初值，可能需要更长。诊断指标中常用 Gelman-Rubin 的 R̂（多链方差比）或自相关时间的数倍。
实际应用
贝叶斯推断和参数估计：从事后分布 $p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)$ 采样 $\theta$ 是最标准的应用。从观测数据推断物理模型参数（如材料弹性系数的事后分布）时，虽然积分无法解析计算，MCMC 仍能处理。Stan、PyMC 等主流贝叶斯库都以此为核心。
统计力学和伊辛模型：大都市法源自统计力学中从玻尔兹曼分布 $p \propto e^{-E/kT}$ 采样（Metropolis et al., 1953）。用于研究自旋系统相变、合金有序-无序转变、蛋白质折叠等平衡态物理量计算。
CAE 不确定性量化（UQ）：有限元分析的输入参数（材料常数、边界条件、几何公差）有概率分布时，用 MCMC 推断输出（应力、变形）的事后分布或可靠性指标。FORM/SORM 无法捕捉的复杂失效区域或多峰分布可通过 MCMC 有效评估。现代方法常与代理模型（克里金、高斯过程）结合降低计算成本。
机器学习和概率编程：隐变量模型、混合模型、分层模型等最大似然法容易陷入局部解的复杂模型，用 MCMC 学习。主题模型（LDA）的 Collapsed Gibbs 采样器、贝叶斯神经网络权重采样、强化学习的策略评估等都有应用。
常见误解和注意事项
最常见的误解是"受理率越高越好"。模拟器中 σ_prop=0.1 时受理率超过 95%，但这只表示"几乎不动"，样本质量最差。σ_prop=5 时受理率约 10%，也很糟糕因为频繁拒绝。一维目标应瞄准 40～50% 的受理率，多维时 20～30%，本工具默认 σ_prop=1.0 接近最优值。
第二个误解是"混淆 MCMC 样本数和独立样本数"。链的样本 $x_1, x_2, \ldots, x_N$ 不独立，例如自相关时间 $\tau=20$ 时，N=2000 的链实际信息量仅约 100。论文中必须同时报告 ESS 或 $\hat R$ 等诊断指标，不能只写"运行 N=10000 的 MCMC"。
第三个误解是"预烧就能保证收敛"。预烧只是"消除初值影响"，不能保证到达定常分布。双山分布时如果链只到了一个山，长预烧也看不到另一个山。实务中需用多初值并行运行，检查 Gelman-Rubin 统计量 $\hat R$ 接近 1，视察迹线图，才能综合判断收敛。