结构固有振动模式形模拟器

这个模拟器的基础是欧拉-伯努利梁理论。梁的曲折振动由以下四阶偏微分方程描述：

$$ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\left( EI \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}\right) + \rho A \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}= 0 $$

其中$w(x,t)$是梁的挠度，$E$是杨氏模量，$I$是惯性矩，$\rho$是密度，$A$是截面积。这个方程表示"弯曲刚性产生的回复力"与"质量的惯性力"之间的平衡。

利用变量分离法和边界条件(支持方式)求解上述方程，可得到固有圆周频率$\omega_n$和模式形$\varphi_n(x)$。例如，简支梁的解具有美妙的形式：

$$ \varphi_n(x) = \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right), \quad \omega_n = \left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{\!2}\!\sqrt{\dfrac{EI}{\rho A}} $$

$n$是模式阶次(1,2,3…)，$L$是梁的长度。可见$\omega_n$随$n$的平方增加，随跨度$L$的平方反比例减小。模拟器正是利用这个公式瞬间计算频率的。

建筑·土木结构物的抗震设计：高层建筑和桥梁在地震波频率与结构固有振动频率一致时会发生共振，产生巨大摇晃。设计中用有限元法进行固有值分析，预先掌握主要模式形和周频，确保它们不与地震卓越周频重叠。

汽车·飞机的NVH对策：车身或飞机机翼的振动和噪音(Noise, Vibration, Harshness)，常由发动机或气流的强迫振动在固有振动模式处被放大而产生。通过CAE模拟预先掌握模式形，添加加强筋来提高刚性，将问题周频移出工作范围。

精密机械·半导体制造设备：进行微细加工和计量的设备，外部振动或内部电机的微小变位会严重影响精度。通过分析设备框架的固有振动模式，判断隔振材料的安装位置和结构弱点，进行改进。

乐器的声学设计：吉他箱体、鼓膜、建筑物外墙等一切物体都会在其固有周频下发出声音。乐器制作者通过选择木材和调整形状，实现理想的模式形(音色)，同时抑制不良模式(杂音)。

使用这个模拟器时，容易产生几个误解。首先，"n=1是最低频，所以最危险"这个想法不完全对。基本模式确实最易被激励，但在旋转机械中，根据运转速度(转速)，高阶模式有时也会被强烈激励。实务中要根据实际外力类型，判断应该关注哪些模式。

其次，"节点(不动点)是完全固定的"这个误解。模拟器上的节点只在"该阶模式单独振动"的假设下才成立。现实中，结构物由全部模式的混合振动组成，所以节点位置会随时间变化，不会完全静止。要把它作为纯理论参考。

参数设置时要注意量纲单位的统一。比如长度L用[mm]、杨氏模量E用[GPa]、密度ρ用[kg/m³]混合输入，计算出的周频会出现荒诞的数值。虽然模拟器内部可能做了单位转换，但自己手算时必须统一为国际单位制(m, Pa, kg/m³)等。E=200 GPa就是200×10^9 Pa。