参数设置
计算结果
基音 f₀
440 Hz
音符数
3
协和度得分
—
最小拍频
—
频谱
各音符的泛音频谱。高度表示振幅。不同颜色代表不同音符。
理论·主要公式
$f_n = n \cdot f_0$ （$n = 1, 2, 3, \ldots$）
振幅: $A_n = A_0 / n^\alpha$（$\alpha$=泛音衰减）
平均律半音比
$r = 2^{1/12} \approx 1.0595$
选择基音和和弦类型，实时可视化频率谱、合成波形和泛音结构。用数式理解协和音与不协和音的物理差异。
各音符的泛音频谱。高度表示振幅。不同颜色代表不同音符。
C7（Do Mi Sol Si♭）的频率比很复杂，特别包含三音（Fa和Si的增四度）。三音是平均律中最不协和的音程，频率比为√2:1。人类听觉会寻求缓解这种紧张感，期待解决到F和弦（Fa La Do）。这种「紧张→解决」是音调性音乐的基础。
傅里叶变换将复杂波形分解为正弦波的和。乐器音的傅里叶变换就是「频谱」，各个峰值对应各个泛音。本页的「频谱」选项卡在概念上相当于傅里叶谱。实际音响分析使用FFT（快速傅里叶变换）进行。
国际标准在1939年伦敦确定为440 Hz（ISO 16）。之前巴洛克时代约415 Hz，古典主义时代约430 Hz。现代乐队经常用442 Hz或444 Hz，据说声音「更明亮更有光泽」。
建筑物的固有振动频率由与弦的泛音列相同的原理（共振·固有模式）决定。吉他的品格和有限元法的网格划分、弦的振动模式和梁的固有模式在数学上解决了同一个「边界值问题」。可以说音乐是人类最早开始探求「振动之美」的领域。
对于基音周波数 \(f_0\)，第 \(n\) 倍音的频率表示为 \(f_n = n f_0\)，整数倍关系产生协和感。例如，完全五度音程的频率比为 \(3:2\)，对应基音的第3倍音的关系。合成波形可以表示为 \(y(t) = \sum_{n=1}^{N} A_n \sin(2\pi n f_0 t + \phi_n)\)，其中各倍音的振幅 \(A_n\) 和位相 \(\phi_n\) 决定了音色。不协和音由周频率比偏离简单整数比而产生，表现为拍频或粗糙波形。本模拟器通过调整这些物理参数，实时确认频谱和波形的变化，能够从数式和视觉两个方面理解协和与不协和的本质。
产业实际使用示例
音响设备制造商（如雅马哈、BOSE）在设计扬声器和乐器时，利用本模拟器调整倍音成分的平衡，实现自然、无失真的音色。汽车行业（如丰田）分析电动车电机音和排气声的泛音结构，应用协和音进行舒适的车内音响设计。
研究和教育应用
大学音响工程和音乐物理学讲座中，学生利用本工具直观理解基音和泛音的关系。特别是通过对比协和音（如完全五度）和不协和音（如小二度）的频谱和波形差异，配合数式（如频率比的整数性），可以定量学习听觉心理学现象。
与CAE分析的联动及实务定位
本工具用于FEM或BEM结构·音响耦合分析的前期，简易评估设计参数（如弦张力、共鸣箱形状）对泛音结构的影响。用于CAE结果验证和音质目标值（如泛音次数强度比）的设定，在产品开发初期减少试作次数。
容易理解成「协和音＝频率比为简单整数比的音组合」，但实际上人的听觉有「临界带宽」的影响，即使频率比为简单整数，如果频率差过小，也可能被认知为「拍频」而感到不快。特别是在低音域这种效果很明显，纯正律的大三度在某些条件下也可能听起来不协和。需要留意这一点。
另一个常见误区是「泛音越多越丰富」，实际上基音相对泛音的强度平衡及泛音次数的分布很重要。例如，仅奇数泛音强的单簧管波形有独特的「空心感」，偶数泛音多时「亮度」增加。单纯增加泛音数会导致声音浑浊或金属刺耳，乐器音色设计需要有选择地控制泛音。
另外，仅看模拟器上的波形显示而误解成「这个波形漂亮＝协和音」时要注意。实际协和感由频谱上泛音之间的干涉模式和听觉的非线性特性（组合音产生等）决定。波形复杂但协和的情况，和单纯正弦波但不协和的情况都存在。使用数式和频谱显示并用来确认很重要。
C4（262Hz）的纯正三和弦：基音262Hz、3倍音（E5=786Hz）、5倍音（G#5=1310Hz）时，频率比1:3:5，显示最大协和度2.89。相反，不协和音C4+C#4（262Hz vs 277Hz）产生15Hz的差拍周频率，协和度下降至0.42。基于Helmholtz理论的泛音碰撞（beating frequency）在频谱图中可视化。