测量公式与输入量
可用：x, y, + − * / ^ ( ), sin cos tan atan exp log sqrt abs, pi, e。不含y时按单变量处理。
x 的均值 μx
输入量 x 的最佳估计值
x 的标准不确定度 u(x)
正态分布 N(μx, u²) 的标准差
y 的均值 μy
输入量 y 的最佳估计值
y 的标准不确定度 u(y)
正态分布 N(μy, u²) 的标准差
假定各输入相互独立且服从正态分布 N(μ, u²)（GUM/JCGM 101的代表性情形）。
计算结果
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f(μ)（名义值）
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均值偏移 Δ（2阶+）
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u_c 一阶（GUM）
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u_c 4阶泰勒
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偏度 γ₁（3阶+）
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超额峰度 γ₂（4阶+）
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u_c 蒙特卡罗参考
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正态近似可靠性
各阶收敛 — 均值偏移・u_c・偏度・峰度
各阶泰勒多项式的统计量；最右侧MC为蒙特卡罗参考值（JCGM 101）。一阶时Δ、γ₁、γ₂恒为0——这正是正态近似本身。
输出分布 — 蒙特卡罗 vs 一阶正态近似
直方图＝蒙特卡罗得到的实际分布。曲线＝GUM一阶正态近似 N(f(μ), u₁²)。偏差越大，线性化越危险。
理论与主要公式
\( y = f(\mu) + \sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}\delta_i + \frac{1}{2}\sum_{i,j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\delta_i\delta_j + \cdots \)
测量方程在均值附近的泰勒展开（δᵢ = xᵢ − μᵢ）。本工具用数值微分构建含交叉项在内的全部4阶项。
\( u_c^2 \approx \sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u_i^2 \qquad \Delta = E[y] - f(\mu) \approx \frac{1}{2}\sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} u_i^2 \)
左：GUM一阶（线性）不确定度传播律。右：二阶项产生的输出均值偏移，在非线性测量中表现为系统性偏差。
\( \gamma_1 = \frac{E[(y-\bar y)^3]}{u_c^3} \qquad \gamma_2 = \frac{E[(y-\bar y)^4]}{u_c^4} - 3 \)
偏度γ₁（主要来自3阶项）与超额峰度γ₂（主要来自4阶项），正态分布时均为0。泰勒多项式的矩用12点Gauss–Hermite求积精确计算。