h-细分化（网格加密）
h细化的理论基础
h·p·r——三种细化方式的分工
降低网格离散化误差有三条路线。h细化缩小单元尺寸 \( h \)（增加单元数）；p细化提高单元多项式阶数；r细化不改单元数、只优化节点位置。其中h是最通用的路线——任何单元类型、任何求解器都适用，也是网格收敛性验证（GCI等）的地基。
前辈总说"先整体加密一倍再说"，可这样做到底换来了什么、换来多少，我心里没数……
这背后有一套漂亮的理论：误差按网格尺寸的几次方减小——收敛阶数——由单元的多项式阶数决定。知道了它，你就能做出"h减半，误差应降为1/4"这样的定量预测；预测不中，就说明哪里出了问题。加密不是碰运气的体力活，而是预测与验证的仪器。
先验误差估计与收敛阶数
解足够光滑时，阶数为 \( k \) 的单元（线性单元 \( k=1 \)）的有限元误差满足
$$ \| u - u_h \|_{E} \le C\, h^{k}, \qquad \| u - u_h \|_{L^2} \le C\, h^{k+1} $$
（\( \|\cdot\|_E \) 为能量范数）。即线性单元下应变·应力按 \( O(h) \)、位移按 \( O(h^2) \) 收敛；二次单元则分别为 \( O(h^2) \)、\( O(h^3) \)。位移先收敛、应力后收敛正是这个阶差的必然结果——"位移不动了应力还在动"不是异常。
奇异点对收敛率的限制
漂亮的收敛以解的光滑性为前提。凹角（re-entrant corner）、点荷载、点约束、双材料界面角点处存在应力奇异性，解的正则性降为 \( u \sim r^{\lambda} \)（\( \lambda < 1 \)）。此时均匀细化的收敛率无论单元阶数如何都被限制在 \( \min(k, \lambda) \)——再怎么加密、用多高阶的单元，奇异点附近的应力值都不会收敛。正确的选择是：①把角倒圆（按实物建出圆角），②把评估点移开，③围绕奇异点做梯度细化＋外推。认清h细化帮不上忙的地方，是用好它的第一步。
细化的数值方法
均匀细化与局部细化
均匀细化把所有单元等分，能构造收敛性验证（GCI·Richardson外推）所需的系统性序列；代价是三维每档约8倍单元数。局部细化只加密误差大的区域，是生产性分析的主力。实现上有两大流派：
- 单元分裂型——分割现有单元（四叉树/八叉树、red-green分割、二分法）。与相邻单元的节点不匹配用悬挂节点约束或过渡单元处理
- 重划分型——更新尺寸场后整体重新剖分。单元质量好保持，但非线性·时程问题需要解的映射，要盯住移送误差
无论哪种方式，细化产生的新边界节点都必须重新投影到CAD几何上。带着粗网格的折线外形去细化，几何误差会让离散化误差的下降封顶（圆孔应力集中系数收敛不到理论值的典型原因）。
自适应h细化的循环
自适应细化是"求解→估计→标记→细化"的迭代：
- SOLVE——在当前网格上求解
- ESTIMATE——计算逐单元误差指示子：应力恢复型（Zienkiewicz-Zhu超收敛面片恢复：平滑应力与单元应力之差）或残差型
- MARK——选出误差大的单元（如Dörfler标记：选取占总误差固定比例的单元集）
- REFINE——分割被标记单元，进入下一轮
终止条件是"估计误差达标"或"目标量的变化小于容差"。指示子只是估计而非真值，最终网格上的收敛性确认（再细化一档看目标量变化）不能省。
CFD边界层网格的细化不是各向同性的
壁面边界层的解析由第一层厚度（\( y^+ \)）和增长率管理，各向同性的均匀细化会破坏这套设计。边界层要各向异性地细化："保持第一层厚度、增加层数"或"降低增长率"，并在细化前后核对 \( y^+ \) 分布。使用壁面函数时还有"越细化越糟"的陷阱：把 \( y^+ \) 压到30以下会违反壁面函数的适用条件。
实务指南
在哪里加密——经验值
| 部位 | 经验值 | 理由 |
|---|---|---|
| 应力集中处（圆角·孔边） | 90°圆弧≥3个单元；梯度方向≥3层 | 1～2个单元会系统性低估峰值 |
| 板厚方向（受弯的实体） | 二次单元≥2层 | 解析弯曲应力的线性分布 |
| 接触面 | 向接触压区边缘加密 | 接触压力的边缘奇异性 |
| 荷载·约束施加区 | 不评估就可以粗（拉开距离） | 圣维南原理；奇异处加密也不会收敛 |
| 远场 | 保持粗网格 | 把算力集中到梯度区 |
系统性细化序列的构造方法
用于收敛性验证的序列应是"同一套网格设计思想按同一倍率整体缩放"。实操两条路：①全局尺寸与局部尺寸按相同倍率（推荐1.5～2倍）同时缩小；②用均匀分割功能机械细化。要避免"粗网格自动生成、细网格手工调整"这类序列——细化比会随位置乱变，观测阶数就失去意义。每档还要记录单元质量指标（畸变·雅可比）的分布，确认细化没有恶化质量。
成本估算与子模型这条退路
三维均匀细化一档单元数×8，直接法求解成本增加更多。"再细一档做不动了"是常态，实务解是只围绕评估部位构造序列——包括子模型法：粗全局模型解完，把位移边界切给评估热点的精细子模型，在子模型上确认收敛性。配套动作是确认子模型边界离得足够远（移动边界结果不变）。
主要工具的细化功能
工具支持情况
| 工具 | 细化功能 | 实务备忘 |
|---|---|---|
| Ansys Mechanical | Convergence对象（按结果项自动自适应）、Sphere of Influence局部尺寸 | 把Convergence指向奇异应力会永远发散——要小心 |
| Abaqus | 自适应重划分（指示子驱动尺寸场）、ALE自适应 | 非线性重划分要核对解映射的移送误差 |
| COMSOL Multiphysics | 物理场控制网格＋内置自适应细化 | 可按目标量（泛函）驱动自适应 |
| OpenFOAM | refineMesh、snappyHexMesh区域细化、动态AMR（dynamicRefineFvMesh） | 悬挂节点以面分割处理；之后跑checkMesh |
| Nastran系 | 原生自适应有限；靠前处理器的尺寸控制 | 系统性序列在网格器一侧按倍率管理 |
使用自动自适应时的核查点
既然工具能自动细化到收敛，手动网格研究是不是就不需要了？
自动自适应很强，但有两个前提仍要人来把关。第一，收敛的对象——默认盯的是"你选的那个结果项"，未必是设计判断真正用的量。第二，奇异点——把它指向奇异应力，它会无休止细化、在迭代上限处停下，然后把停下那一刻的值当"收敛值"交给你。务必把细化历史（每轮迭代的数值推移）画出来，用自己的眼睛判断是渐近还是发散。做到这一点，自动自适应就是一流的省时利器。
前沿研究动态
目标导向（伴随法）自适应
传统指示子按"全局能量范数误差"来细化，工程要的却是目标量的误差——升力系数、某点应力。DWR（dual-weighted residual）法通过求解伴随问题，用对目标量的敏感度给局部误差加权，以最少单元达到目标精度，在CFD（尤其气动系数的网格收敛）中实现最为成熟。它从原理上避免了"细化与目标无关的涡"这类浪费。
hp自适应与指数收敛
在光滑区提p、在奇异点附近按几何级数细化h的hp自适应，即使有奇异性也能对自由度数取得指数级误差收敛，这是理论上已证明的。实现复杂度限制了它在通用商用软件中的普及，但随着谱单元、高阶DG（间断Galerkin）求解器的发展，它正在成为高精度计算的标准手法。
与机器学习的融合
用学习模型替换自适应环中"ESTIMATE→MARK"的研究很活跃：从粗网格解直接预测最优尺寸场的模型、用强化学习学细化策略等，能削减自适应迭代次数（=求解器执行次数）。学习得到的尺寸场没有保证，因此它不能取代最终网格上的经典收敛性确认——与代理模型一样，这是ML×CAE的通则。
故障排查
按症状的原因与对策
| 症状 | 可能原因 | 对策 |
|---|---|---|
| 越细化应力越大、不封顶 | 应力奇异点（凹角·点约束·点荷载） | 不要把它当收敛对象；加圆角、移评估点，或改用名义应力/热点应力法 |
| 细化后单元质量恶化 | 分裂型细化的劣化累积、未做曲面重投影 | 换重划分型，启用CAD重投影，按档记录质量指标 |
| 细化了很多结果却几乎不变 | 误差主导项在网格之外（边界条件·材料·几何理想化） | 重审误差收支；转向边界条件验证 |
| 自适应总在无关区域细化 | 全局指示子与目标量不一致 | 改用目标导向设置，或在评估部位叠加手动尺寸 |
| CFD细化后壁面传热·摩擦反而变差 | y+跌出壁面函数适用域 | 边界层按各向异性管理；与壁面处理方式保持一致 |
| 细化序列的观测阶数对不上理论 | 序列不系统、未达渐近区、迭代收敛不足 | 套用GCI故障排查的诊断流程 |
| 内存·时间到极限 | 三维均匀细化一档×8 | 局部细化＋子模型；迭代法求解器＋并行 |
先问一句：该不该细化？
那拿不准的时候，先细化总是安全的……对吧？
"安全"没错，"有效"未必。分析的总误差=离散化误差＋建模误差（边界条件·材料·几何理想化）＋输入不确定度，h细化只能压第一项。当离散化只占总误差一成时，花8倍算力把它砍半，总误差几乎不动。所以顺序是：①先用GCI估离散化误差的大小；②它占主导才细化；③否则把预算投给建模误差和输入不确定度。细化不是目的，只是误差收支里的一个手段。
相关文章：GCI（三网格法）应用指南、用MMS做代码验证、求解器收敛性的确认。
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