h-细分化（网格加密）

分类：求解 | 完整版 2026-04-06

CAE visualization for h refinement theory - technical simulation diagram

h-细分化（网格加密）

h-细分化（网格加密）的理论基础

概要

🧑‍🎓

老师！今天讨论h-细分化（网格加密）？具体是什么？

🎓

减小单元尺寸h以提高精度。基于先验误差估计的收敛速率。注意特异点附近的低收敛率。

控制方程

$$ E \leq Ch^p $$

$$ \|u-u_h\|_{H^1} \leq Ch^{k}\|u\|_{H^{k+1}} $$

离散化方法

🧑‍🎓

这样的方程怎样在计算机中求解？

🎓

使用有限元法（FEM）的空间离散化。组装单元刚性矩阵，构造整体刚性方程。

🎓

利用弱形式（变分形式）转换，用试函数和形状函数进行Galerkin法定式化。单元类型选择（低阶单元 vs. 高阶单元、完全积分 vs. 低减积分）直接关系到解的精度与计算成本的权衡。

矩阵求解算法

🧑‍🎓

矩阵求解算法具体怎样操作？

🎓

直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（CG法、GMRES法）求解线性方程组。大规模问题使用预处理迭代法效果显著。

求解法	分类	内存使用	适用规模
LU分解	直接法	O(n²)	小-中规模
Cholesky分解	直接法（对称正定）	O(n²)	小-中规模
PCG法	迭代法	O(n)	大规模
GMRES法	迭代法	O(n·m)	大规模·非对称
AMG预处理	预处理	O(n)	超大规模

🧑‍🎓

也就是说，有限元法阶段马虎的话，后面会很吃亏！记住了！

商用工具中的实现

🧑‍🎓

那h-细分化（网格加密）可以用什么软件？

工具名称	开发者/现所属	主要文件格式
MSC Nastran / NX Nastran	MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）	.bdf, .dat, .f06, .op2, .pch
Abaqus FEA (SIMULIA)	Dassault Systèmes SIMULIA	.inp, .odb, .cae, .sta, .msg
Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural)	Ansys Inc.	.cdb, .rst, .db, .ans, .mac
Ansys Fluent	Ansys Inc.	.cas, .dat, .msh, .jou
Simcenter STAR-CCM+	Siemens Digital Industries Software	.sim, .java, .csv
COMSOL Multiphysics	COMSOL AB	.mph
OpenFOAM	开源（OpenCFD/ESI、OpenFOAM Foundation）	字典文件（blockMeshDict等）, .foam

供应商系统与产品整合历程

🧑‍🎓

各个软件的演变过程是不是挺戏剧化的？

MSC Nastran / NX Nastran

🧑‍🎓

接下来讲MSC Nastran？内容怎样？

🎓

NASA结构分析（NASTRAN）在1960年代开发。MSC Software将其商用化，后来UGS（现Siemens）派生出NX Nastran。MSC在2017年被Hexagon AB收购。

现所属：MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）

Abaqus FEA (SIMULIA)

🧑‍🎓

Abaqus FEA具体怎样？

🎓

1978年HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被Dassault Systèmes收购，整合到SIMULIA品牌。

现所属：Dassault Systèmes SIMULIA

🧑‍🎓

等一下，结构分析是什么意思？就是说这种情况也能用？

Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural)

🧑‍🎓

讲讲"Ansys Mechanical"！

🎓

1970年Swanson Analysis Systems Inc. (SASI) 开发。基于APDL（Ansys参数化设计语言）。

现所属：Ansys Inc.

🧑‍🎓

哇～结构分析的话题超有趣！再多讲点！

文件格式与互操作性

🧑‍🎓

不同软件间传递数据有什么需要注意？

格式	扩展名	类型	说明
STEP	.stp/.step	中立CAD	ISO 10303兼容的3D CAD数据交换格式。形状+PMI支持。
IGES	.igs/.iges	中立CAD	早期CAD数据交换标准。曲面数据互操作有问题。正在向STEP迁移。
VTK	.vtk/.vtu	可视化	Visualization Toolkit格式。用于ParaView等。

🎓

不同求解器间转换模型时，需要留意单元类型对应关系、材料模型兼容性、荷载与边界条件表示差异。尤其高阶单元或特殊单元（内聚单元、用户定义单元等）往往无法直接跨求解器转换。

🧑‍🎓

看来格式看上去简单，其实学问很深啊。

实务中的注意事项

🧑‍🎓

教科书没有的"现场经验"之类的有吗？

🎓

网格收敛性验证、边界条件妥当性确认、材料参数敏感性分析都很关键。

🎓

网格依赖性验证：至少用3个网格密度水平验证收敛性

边界条件妥当性：设定物理上有意义的拘束条件

结果验证：与理论解、实验数据、已知基准问题对比

🧑‍🎓

h-细分化（网格加密）的全貌我理解了！明天开始在实务中留意。

🎓

好啊，趁热打铁！实际操作才是最好的学习。有不懂的地方随时问。

验证数据的可视化

理论值与计算值对比定量表示。以相对误差5%以内为合格标准。

评价项目	理论值/参考值	计算值	相对误差 [%]	判定
最大位移	1.000	0.998	0.20	通过
最大应力	1.000	1.015	1.50	通过
固有振动数（1次）	1.000	0.997	0.30	通过
反力合计	1.000	1.001	0.10	通过
能量守恒	1.000	0.999	0.10	通过

判定标准：相对误差 < 1%: ■ 优秀、1～5%: ■ 可接受、> 5%: ■ 需审视

h-细分化（网格加密）的数值计算方法

数值方法详解

🧑‍🎓

h-细分化（网格加密）具体用什么算法求解？

离散化公式

🎓

用形状函数 $N_i$ 近似未知量:

$$ u^h(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} N_i(\mathbf{x}) \, u_i $$

🎓

用式子表达就是这样。

$$ K_e = \int_{\Omega_e} B^T \, D \, B \, d\Omega \approx \sum_{g=1}^{n_g} w_g \, B^T(\xi_g) \, D \, B(\xi_g) \, |J(\xi_g)| $$

基础方程离散形式

🎓

用式子表达就是这样。

$$ E \leq Ch^p $$

$$ \|u-u_h\|_{H^1} \leq Ch^{k}\|u\|_{H^{k+1}} $$

🧑‍🎓

只看式子的话，不太理解……什么意思？

🎓

连续体的控制方程离散化后，得到下列代数方程组:

$$ [K]\{u\} = \{F\} $$

🎓

其中 $[K]$ 是整体刚性矩阵（或等效系统矩阵），$\{u\}$ 是未知节点变量矢量，$\{F\}$ 是荷载矢量。

🧑‍🎓

啊，原来如此！连续体的控制方程就是这样离散化的啊。

单元技术

🧑‍🎓

听过"单元技术"，但没理解透彻……

单元类型	阶数	节点数(3D)	精度	计算成本
四面体一阶	线性	4	低（剪切锁定）	低
四面体二阶	二次	10	高	中
六面体一阶	线性	8	中	中
六面体二阶	二次	20	非常高	高
棱柱	线性/二次	6/15	中～高	中

积分方案

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积分方案具体是什么？

🎓

完全积分：准确积分所有项。有刚性过大评估的倾向（锁定）

低减积分：减少积分点数。提高计算效率，但有产生沙漏模式的风险

选择性低减积分 (B-bar法)：分离体积项和偏差项进行积分。避免锁定

🧑‍🎓

听到这里，总算明白为什么单元类型这么重要了！

收敛性与稳定性

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如果不收敛，首先检查什么？

🎓

h-细分化：网格加密（减小单元尺寸 h）提高精度

p-细分化：提升单元多项式次数提高精度

hp-细分化：同时优化 h 和 p

🎓

收敛速度：二阶单元按 $O(h^2)$ 的量级降低误差（光滑解的情况）

🧑‍🎓

看来网格加密这事看上去简单，其实学问很深啊。

求解器设置建议

🧑‍🎓

h-细分化（网格加密）具体用什么算法求解？

参数	推荐值	备注
迭代法收敛判定	$10^{-6}$	残差范数标准
预处理手法	ILU(0) 或 AMG	根据问题规模
最大迭代次数	1000	未收敛时需重新调整
内存模式	核内(In-core)	尽可能使用

低阶单元

计算成本低、实现简单，但精度受限。粗网格情况下易产生大误差。

高阶单元

同一网格下精度更高。计算成本增加，但所需单元数往往更少。

牛顿-拉夫逊法

非线性问题的标准方法。在收敛域内二次收敛。以 $||R|| < \epsilon$ 判定收敛。

时间积分

显式方法：条件稳定（CFL条件）。隐式方法：无条件稳定，但需反复求解每步的线性方程组。

验证数据的可视化

理论值与计算值对比定量表示。以相对误差5%以内为合格标准。

评价项目	理论值/参考值	计算值	相对误差 [%]	判定
最大位移	1.000	0.998	0.20	通过
最大应力	1.000	1.015	1.50	通过
固有振动数（1次）	1.000	0.997	0.30	通过
反力合计	1.000	1.001	0.10	通过
能量守恒	1.000	0.999	0.10	通过

判定标准：相对误差 < 1%: ■ 优秀、1～5%: ■ 可接受、> 5%: ■ 需审视

h-细分化（网格加密）的实务应用

实践应用指南

🧑‍🎓

老师，讲讲"实践应用"！

🎓

讲解h-细分化（网格加密）的实务求解流程和注意事项。

求解流程

🧑‍🎓

从头开始怎样做？第一步是什么？

🎓

1. 预处理 (前处理)

CAD数据导入与形状简化
材料特性定义
网格生成（单元类型·尺寸决策）
边界条件和荷载条件设置

🎓

2. 求解 (求解)

求解器设置（求解方法、收敛基准、输出控制）
任务提交与计算执行
收敛监测

🎓

3. 后处理 (后处理)

结果可视化（位移、应力、其他物理量）
结果验证与妥当性确认
报告制作

网格生成最佳实践

🧑‍🎓

怎样判断网格好坏？

单元品质指标

🧑‍🎓

讲讲"单元品质指标"！

指标	理想值	允许范围	影响
宽高比	1.0	< 5.0	精度降低
雅可比行列式比	1.0	> 0.3	单元退化
扭曲	0°	< 15°	精度降低
偏斜度	0°	< 45°	收敛性恶化
锥形比	0	< 0.5	精度降低

网格密度决定

🧑‍🎓

网格密度的决定具体是什么？

🎓

应力集中部：至少铺3层以上单元

应力梯度大的区域：单元尺寸设为周围的1/3～1/5

荷载施加点附近：局部加密

远场区域：粗网格以保证计算效率

边界条件设置指南

🧑‍🎓

听说边界条件搞错的话全毁了……

🎓

过约束警示：刚体移动的约束仅需6个自由度

利用对称条件：削减计算规模

荷载等价分配：集中荷载 vs. 分布荷载的选择

🧑‍🎓

啊，原来过约束是那么一回事！

按商用工具分类的实现步骤

🧑‍🎓

不同软件各有特色吧？分别讲讲！

工具名称	开发者/现所属	主要文件格式
MSC Nastran / NX Nastran	MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）	.bdf, .dat, .f06, .op2, .pch
Abaqus FEA (SIMULIA)	Dassault Systèmes SIMULIA	.inp, .odb, .cae, .sta, .msg
Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural)	Ansys Inc.	.cdb, .rst, .db, .ans, .mac
Ansys Fluent	Ansys Inc.	.cas, .dat, .msh, .jou
Simcenter STAR-CCM+	Siemens Digital Industries Software	.sim, .java, .csv
COMSOL Multiphysics	COMSOL AB	.mph
OpenFOAM	开源（OpenCFD/ESI、OpenFOAM Foundation）	字典文件（blockMeshDict等）, .foam

MSC Nastran / NX Nastran

🧑‍🎓

接下来讲MSC Nastran？内容怎样？

🎓

NASA结构分析（NASTRAN）在1960年代开发。MSC Software将其商用化，后来UGS（现Siemens）派生出NX Nastran。MSC在2017年被Hexagon AB收购。

现所属：MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）

Abaqus FEA (SIMULIA)

🧑‍🎓

Abaqus FEA具体怎样？

🎓

1978年HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被Dassault Systèmes收购，整合到SIMULIA品牌。

现所属：Dassault Systèmes SIMULIA

🧑‍🎓

先生的讲解好清楚！工具名称的疑惑解开了。

常见故障与对策

🧑‍🎓

初心者常犯的错误有哪些？想事先知道！

症状	原因	对策
计算不收敛	网格品质差、边界条件不当	改进网格、审视拘束条件
应力异常大	应力特异点、网格依赖	回避特异点、局部加密网格
位移非现实	材料常数误差、单位不一致	检验输入数据
计算时间过长	不必要的加密、低效求解	优化网格、并行计算

质量保证检查清单

🧑‍🎓

教科书没有的"现场经验"之类的有吗？

🎓

用3个网格密度水平验证收敛性了吗

验证力的平衡（反力合计）了吗

结果在物理合理范围内吗

与理论解或基准问题对比了吗

🧑‍🎓

h-细分化（网格加密）的全貌我理解了！明天开始在实务中留意。

🎓

好啊，趁热打铁！实际操作才是最好的学习。有不懂的地方随时问。

验证数据的可视化

理论值与计算值对比定量表示。以相对误差5%以内为合格标准。

评价项目	理论值/参考值	计算值	相对误差 [%]	判定
最大位移	1.000	0.998	0.20	通过
最大应力	1.000	1.015	1.50	通过
固有振动数（1次）	1.000	0.997	0.30	通过
反力合计	1.000	1.001	0.10	通过
能量守恒	1.000	0.999	0.10	通过

判定标准：相对误差 < 1%: ■ 优秀、1～5%: ■ 可接受、> 5%: ■ 需审视

h-细分化（网格加密）的软件对比

商用工具对比

🧑‍🎓

不同软件各有特色吧？分别讲讲！

🎓

h-细分化（网格加密）支持的主要商用CAE工具的功能对比及各产品的历史背景详述。

支持工具列表

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那h-细分化（网格加密）可以用什么软件？

工具名称	开发者/现所属	主要文件格式
MSC Nastran / NX Nastran	MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）	.bdf, .dat, .f06, .op2, .pch
Abaqus FEA (SIMULIA)	Dassault Systèmes SIMULIA	.inp, .odb, .cae, .sta, .msg
Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural)	Ansys Inc.	.cdb, .rst, .db, .ans, .mac
Ansys Fluent	Ansys Inc.	.cas, .dat, .msh, .jou
Simcenter STAR-CCM+	Siemens Digital Industries Software	.sim, .java, .csv
COMSOL Multiphysics	COMSOL AB	.mph
OpenFOAM	开源（OpenCFD/ESI、OpenFOAM Foundation）	字典文件（blockMeshDict等）, .foam

MSC Nastran / NX Nastran

🧑‍🎓

接下来讲MSC Nastran？内容怎样？

🎓

NASA结构分析（NASTRAN）在1960年代开发。MSC Software将其商用化，后来UGS（现Siemens）派生出NX Nastran。MSC在2017年被Hexagon AB收购。

现所属：MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）

Abaqus FEA (SIMULIA)

🧑‍🎓

Abaqus FEA具体怎样？

🎓

1978年HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被Dassault Systèmes收购，整合到SIMULIA品牌。

现所属：Dassault Systèmes SIMULIA

🧑‍🎓

等一下，结构分析是什么意思？就是说这种情况也能用？

Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural)

🧑‍🎓

讲讲"Ansys Mechanical"！

🎓

1970年Swanson Analysis Systems Inc. (SASI) 开发。基于APDL（Ansys参数化设计语言）。

现所属：Ansys Inc.

Ansys Fluent

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接下来讲Ansys Fluent？内容怎样？

🎓

Fluent Inc.开发。2006年被Ansys收购。基于非结构网格的通用CFD求解器。

现所属：Ansys Inc.

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哇～结构分析的话题超有趣！再多讲点！

功能对比矩阵

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预算时间都有限，哪个性价比最高？

功能	Nastran	Abaqus