多项式混沌展开（PCE）不确定性量化

如果输入维度少的话——大致在5到10个以下——效率是压倒性的。例如，考虑汽车碰撞分析中材料的杨氏模量、板厚、摩擦系数这3个参数存在不确定性的情况。蒙特卡洛法需要运行大约10,000次FEM才能稳定统计量。但PCE的话，仅需50到100次左右的FEM执行就能达到同等甚至更高的精度。

关键在于“用多项式近似响应面”这个思路。将输入参数的不确定性表示为随机变量 $\boldsymbol{\xi}$，并将输出量 $Y$ 展开为Hermite或Legendre等正交多项式的线性组合。一旦构建了这个近似式（代理模型），就可以解析地从中计算均值、方差、概率密度函数、灵敏度指标。完全不需要额外的仿真。

正是如此。不过也有需要注意的地方。当输入参数达到20个以上时，多项式的项数会爆炸性增长，导致效率下降。这被称为“维数灾难”。稍后详细说明，为了克服这个弱点，人们正在研究稀疏PCE和自适应方法。

这其实是关系到PCE根基的重要点。根据输入变量的概率分布，决定了最优的正交多项式族——这被称为“Wiener-Askey对应”。

收敛会变慢，最坏情况下会发散。例如，对均匀分布的输入使用Hermite多项式，原本3次就足够的问题可能需要10次以上。在实际工作中，会像“杨氏模量是正态分布所以用Hermite”、“板厚公差是均匀分布所以用Legendre”这样，为每个参数选择合适的多项式，并通过张量积进行组合。

对于 $d$ 个随机变量 $\boldsymbol{\xi} = (\xi_1, \ldots, \xi_d)$ 的输出 $Y$ 的PCE展开如下：

这里各符号的含义是：

• $c_{\boldsymbol{\alpha}}$ — PCE系数（待求未知数）
• $\Psi_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{\xi})$ — 多元正交多项式基
• $\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)$ — 多重指标（各变量的多项式次数）
• $\mathcal{A}$ — 截断后的索引集合

由各变量的单变量正交多项式的张量积构成：

例如 $d=2$，$\xi_1$ 是正态分布（→Hermite $He_k$），$\xi_2$ 是均匀分布（→Legendre $P_l$）时，$\Psi_{(2,1)}(\boldsymbol{\xi}) = He_2(\xi_1) \cdot P_1(\xi_2)$ 就是这种形式。正交性是指内积为零：

正是如此。类比傅里叶级数来思考就容易理解了。傅里叶级数是用三角函数（正交基）展开周期函数。PCE是用正交多项式展开随机响应。原理完全相同。

这里是PCE最美妙的地方。得益于正交性，统计量可以从系数直接求出：

进一步，偏度（Skewness）、峰度（Kurtosis）、概率密度函数也都可以解析地求出。例如概率密度函数，是对PCE的近似式 $Y(\boldsymbol{\xi})$ 进行蒙特卡洛采样，但这只是多项式的求值，所以瞬间就能完成。即使是10万个样本，也是毫秒级的。

这可以说是PCE的杀手级功能。Sobol灵敏度指标可以直接从PCE系数计算。第 $i$ 个变量的一次Sobol指标是：

这里 $\mathcal{A}_i$ 是“仅依赖于 $\xi_i$ 的项的集合”（即 $\alpha_j = 0 \; \forall j \neq i$ 且 $\alpha_i > 0$）。全阶Sobol指标 $S_i^T$ 也同样可以从“涉及 $\xi_i$ 的所有项”的系数求出。

问得好。例如在焊接部残余应力预测中，输入参数为热输入 $Q$、焊接速度 $v$、预热温度 $T_0$ 这3个。用PCE展开并求出系数后，如果得到 $S_Q = 0.65$、$S_v = 0.22$、$S_{T_0} = 0.08$，就可以知道残余应力波动的65%是由热输入的不确定性引起的。这样就能直接关联到“应优先管理热输入”这一设计判断。

大致分为两种方法。首先说明Galerkin投影法（侵入式PCE）。利用正交性，通过内积求PCE系数 $c_{\boldsymbol{\alpha}}$：

敏锐的指正。在Galerkin投影法中，需要将PCE展开代入控制方程，并改造求解器本身。例如，对于结构分析的刚度方程 $[K(\boldsymbol{\xi})]\{u(\boldsymbol{\xi})\} = \{F(\boldsymbol{\xi})\}$，将 $K$、$u$、$F$ 都进行PCE展开，通过向各基底的投影导出联立方程。理论上精度最高，但需要改写现有FEM求解器的内部，因此在实际工作中难以使用。这就是它被称为“侵入式（intrusive）”的原因。

有的。实际工作中压倒性使用的是非侵入式PCE（Non-Intrusive PCE）。可以将现有的FEM求解器当作黑箱处理。做法是：

1. 生成 $N$ 个样本点 $\{\boldsymbol{\xi}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{\xi}^{(N)}\}$
2. 在每个样本点执行FEM，获取输出 $\{Y^{(1)}, \ldots, Y^{(N)}\}$
3. 用最小二乘法估计系数

写成矩阵形式是 $\hat{\mathbf{c}} = (\boldsymbol{\Psi}^T \boldsymbol{\Psi})^{-1} \boldsymbol{\Psi}^T \mathbf{Y}$。这里 $\boldsymbol{\Psi}$ 是 $N \times P$ 的设计矩阵（$\Psi_{k,\boldsymbol{\alpha}} = \Psi_{\boldsymbol{\alpha}}(\boldsymbol{\xi}^{(k)})$）。无论是Abaqus、Ansys还是OpenFOAM，只要有求解器的输出就能使用。

最低条件是 $N \geq P$（项数以上的样本），但实际工作中推荐过采样比 2~3倍。即 $N = 2P \sim 3P$。例如 $d=5$、$p=3$ 时 $P=56$ 项，所以需要 $N = 112 \sim 168$ 次FEM执行。

问得好。样本点的选取方法（实验设计法）直接关系到PCE的精度。我们来比较一下主要的方法：