不确定性传播（Forward UQ）
理论：把输入离散传到输出
概述
分析的输入有离散，结果却只给出一个值。怎样给出范围？
这就是不确定性传播，即正向UQ。把材料特性、载荷、尺寸的离散用概率分布表示，求它们在结果中产生多大离散。简单的方法是求结果对各输入的灵敏度，用一阶近似合成（FOSM）。另一种是蒙特卡洛法：用随机数改变输入几百、几千次，直接构造结果的分布。选哪种取决于你想知道平均值和离散，还是超过许用值的概率。
一阶近似（FOSM）
输入独立时，输出方差近似为灵敏度平方乘输入方差之和。对悬臂梁挠度，由载荷、弹性模量、板厚的变异系数 $c$ 求挠度的变异系数；板厚按三次方起作用，系数变为3倍。
蒙特卡洛法
超越概率估计值的离散（标准误差）与次数 $N$ 的平方根成反比。概率越小，要达到同样相对精度需要的次数越多。
“蒙特卡洛”这个名字
蒙特卡洛法是20世纪40年代美国洛斯阿拉莫斯实验室的乌拉姆和冯·诺依曼等人为计算中子扩散而提出的。据说乌拉姆养病时思考单人纸牌游戏的成功概率，意识到反复试验比用公式求解更快。名字来自据说他叔叔常去的摩纳哥赌场。它在早期电子计算机ENIAC上运行，如今广泛用于不确定性传播、辐射输运、金融、统计物理等领域。
算例：悬臂梁挠度
长1 m、宽50 mm的悬臂梁。载荷500 N（变异系数10%）、弹性模量200 GPa（5%）、板厚20 mm（2%）均为正态分布，求端部挠度（名义25.0 mm）以及超过许用值30 mm的概率：
| 方法 | 平均 | 标准差 | 超过30 mm的概率 |
|---|---|---|---|
| 一阶近似（FOSM） | 25.00 mm | 3.17 mm | 5.75% |
| 蒙特卡洛法（100万次） | 25.12 mm | 3.20 mm | 6.91% |
对方差的贡献：载荷62%，板厚22%，弹性模量16%。板厚变异系数虽只有2%，但按三次方起作用，排第二。
标准差几乎一样，超越概率却差了两成。
挠度与板厚三次方和弹性模量成反比，所以分布向右稍微拖长（偏度0.25）。一阶近似假设正态分布，低估了右尾，连平均值也偏差0.5%。要知道离散大小一阶近似足够，但要知道失效概率这类尾部值，需要蒙特卡洛法或更高阶的方法——尤其是概率低于1%时差别往往更大。
例2：样本数与波动
把同样计算重复200次，求估计值的波动（1σ）：
| 次数 | 标准差估计（MC） | 超越概率（MC） | 超越概率（LHS） |
|---|---|---|---|
| 100 | 3.19 ± 0.23 mm | 7.2 ± 2.4% | 6.9 ± 1.9% |
| 1,000 | 3.20 ± 0.07 mm | 6.9 ± 0.8% | 7.0 ± 0.7% |
| 10,000 | 3.20 ± 0.02 mm | 6.9 ± 0.27% | 7.0 ± 0.20% |
分析步骤
- 选择有离散的输入，根据试验数据或标准确定分布形式和大小。
- 用一阶近似求灵敏度和方差贡献，筛选重要输入。
- 若需要超越概率等尾部量，用蒙特卡洛或拉丁超立方抽样构造分布。
- 分析很耗时时，先构建代理模型（多项式混沌、克里金）再大量评估。
- 同时报告估计值的波动（次数带来的误差）。
“以为100次就够了”
某零件强度用100次蒙特卡洛计算评估，报告失效概率为0%。用10,000次重新计算后，概率为0.3%。100次时0.3%的事件平均只发生0.3次，所以出现0次很正常。用计数得到的概率估计，要等事件发生几十次才可信。处理小概率时，要增加次数或用重要度抽样等方法。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 用一阶近似求尾部概率 | 低估概率 | 用蒙特卡洛等确认 |
| 次数太少 | 小概率变成0 | 使事件发生几十次 |
| 忽略输入相关性 | 误判离散 | 带相关性抽样 |
| 无依据确定分布形式 | 尾部概率大幅变化 | 根据数据选分布 |
| 不报告估计误差 | 过度相信结果 | 给出置信区间 |
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