不确定性传播（正向UQ）
不確かさ伝播（Forward UQ）
理论与物理
概述
老师！今天讲的是不确定性传播（Forward UQ）对吧？具体是什么内容呢？
从输入不确定性估计模型输出的不确定性。比较泰勒展开近似（FOSM/SOSM）、蒙特卡洛法、PCE法。
老师的解释很清楚！从输入不确定性到模型的模糊之处都弄明白了。
控制方程
$$ Y = M(\mathbf{X}), \quad \mathbf{X} \sim f_X(\mathbf{x}) $$
$$ \mu_Y \approx M(\boldsymbol{\mu}_X) + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial^2 M}{\partial X_i \partial X_j}\text{Cov}(X_i,X_j) $$
离散化方法
这个方程，在计算机上实际是怎么求解的呢？
要使用有限元法（FEM）进行空间离散化。组装单元刚度矩阵，构建整体刚度方程。
矩阵求解算法
矩阵求解算法，具体指的是什么呢？
通过直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（CG法、GMRES法）求解联立方程。对于大规模问题，带预处理的迭代法很有效。
| 解法 | 分类 | 内存使用量 | 适用规模 |
|---|---|---|---|
| LU分解 | 直接法 | O(n²) | 小～中规模 |
| Cholesky分解 | 直接法（对称正定） | O(n²) | 小～中规模 |
| PCG法 | 迭代法 | O(n) | 大规模 |
| GMRES法 | 迭代法 | O(n·m) | 大规模·非对称 |
| AMG预处理 | 前处理 | O(n) | 超大规模 |
也就是说在有限元法阶段偷工减料的话，后面会吃苦头对吧。我铭记在心！
商用工具中的实现
那么，要进行不确定性传播（Forward UQ）可以用哪些软件呢？
| 工具名 | 开发商/现状 | 主要文件格式 |
|---|---|---|
| MSC Nastran / NX Nastran | MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software） | .bdf, .dat, .f06, .op2, .pch |
| Abaqus FEA (SIMULIA) | Dassault Systèmes SIMULIA | .inp, .odb, .cae, .sta, .msg |
| Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural) | Ansys Inc. | .cdb, .rst, .db, .ans, .mac |
| Ansys Fluent | Ansys Inc. | .cas, .dat, .msh, .jou |
| Simcenter STAR-CCM+ | Siemens Digital Industries Software | .sim, .java, .csv |
| COMSOL Multiphysics | COMSOL AB | .mph |
| OpenFOAM | 开源（OpenCFD/ESI、OpenFOAM Foundation） | 字典文件（blockMeshDict等）, .foam |
供应商谱系与产品整合历程
各个软件的诞生过程，是不是还挺有戏剧性的？
MSC Nastran / NX Nastran
接下来是MSC Nastran的内容对吧。具体是什么？
1960年代作为NASA结构分析（NASTRAN）开发。MSC Software将其商业化，之后UGS（现Siemens）派生出NX Nastran。MSC于2017年被Hexagon AB收购。
当前归属：MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）
Abaqus FEA (SIMULIA)
Abaqus FEA，具体指的是什么呢？
1978年由HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被达索系统收购，并整合到SIMULIA品牌下。
当前归属：Dassault Systèmes SIMULIA
等等等等，结构分析的话，也就是说这种案例也能用吗？
Ansys Mechanical (旧ANSYS Structural)
请讲讲「Ansys Mechanical」！
哦～，结构分析的话题，超级有趣！请再多讲一些。