稀疏PCE与LAR

稀疏PCE的理论基础

什么是多项式混沌展开（PCE）

多项式混沌展开把含随机输入 \( \mathbf{X} = (X_1,\dots,X_d) \) 的响应，用与输入分布正交的多项式级数表示：

$$ f(\mathbf{X}) \approx \sum_{\boldsymbol{\alpha} \in \mathcal{A}} c_{\boldsymbol{\alpha}}\, \Psi_{\boldsymbol{\alpha}}(\mathbf{X}) $$

基函数按Wiener-Askey对应关系确定（正态→Hermite、均匀→Legendre等）。PCE的决定性优势是：系数一旦求出，统计量就能解析地读出来：

$$ \mathbb{E}[f] = c_{\mathbf{0}}, \qquad \mathrm{Var}[f] = \sum_{\boldsymbol{\alpha} \ne \mathbf{0}} c_{\boldsymbol{\alpha}}^2 $$

Sobol'灵敏度指数也以系数部分和的形式零额外成本得到。不用等蒙特卡洛收敛，均值、方差、灵敏度直接从展开里读——这就是PCE支撑CAE不确定度量化的原因。

维数灾难与稀疏性假设

LAR甄选基函数的原理

LAR是按"与残差的相关性"依次吸纳基函数的贪心算法——但吸纳得很"温柔"：相关性接近的候选沿等角方向同时推进，比一次到位的逐步法选择更稳定。稀疏PCE中，LAR生成候选模型序列（1个基→2个→……），逐一用留一误差打分、取最优者。"用哪些基、用几个"由数据驱动决定，无需人工调阶。

计算方法的细节

系数估计的两条路——投影与回归

稀疏化的实际——截断策略与自适应阶数

实用的稀疏PCE分三段收窄候选空间：

1. 双曲截断（q-范数）——把候选基限制在 \( \|\boldsymbol{\alpha}\|_q \le p \)（\( q \approx 0.5\sim0.75 \)），先剪掉高阶交互项
2. LAR甄选——从候选中选出留一误差最小的活跃基集合
3. 自适应阶数——逐步提高最大阶 \( p \) 反复以上流程，在LOO最优的 \( p \) 停止

这套组合下，所需样本数降到"活跃基数量的2～3倍"，\( d = 10\sim20 \) 的问题几十到200次计算就常能达到实用精度。

验证指标——LOO误差与修正

回归型PCE的LOO误差有闭式算法（借投影矩阵对角元，无需重训n次）。指标用相对LOO误差 \( \epsilon_{LOO} \) 或 \( Q^2 = 1 - \epsilon_{LOO} \)，参考线：矩估计目的 \( Q^2 \ge 0.99 \)，趋势把握约0.95。有限样本的LOO偏乐观，应使用按"基数/样本数比"修正的LOO（UQLab等已实现）。

实务应用流程

标准工作流

1. 定义输入分布——各因子的分布类型与参数依据实测·标准·文献设定。分布的依据是整个PCE的地基（分布变了，基和统计量全变）
2. 处理相关性——输入有相关时先用Nataf变换等映射到独立标准变量再展开
3. 实验设计——LHS取预期活跃基数量的2～3倍；拿不准就从 \( 10d \) 起步
4. 构建自适应稀疏PCE——LAR＋LOO自动选阶与基
5. 验证——修正LOO；有余力再留出几个CAE点做hold-out
6. 后处理——从系数得均值·方差·Sobol'指数；要分布和尾概率就在展开上做蒙特卡洛

与Kriging的分工

入门判据："以UQ·灵敏度为主→PCE；以逐次抽样·优化为主→Kriging"。两者的折中PC-Kriging（趋势用稀疏PCE、残差用GP）兼取两长，UQLab等可用。

CAE特有的注意点

分析的数值噪声（网格重生成·收敛截断）会漏进高阶系数、系统性抬高方差与Sobol'指数。疑有噪声时按序处理：①同一点重算实测噪声幅值；②收敛判据收紧一个量级；③刻意压低阶数上限（防噪声拟合）。失败算例的剔除会扭曲样本分布——套用Morris法一文所述的纪律（重审范围·记录在案）。

实现工具

工具支持情况

OpenTURNS最小示例

import openturns as ot

dist = ot.ComposedDistribution([ot.Normal(210e9, 6e9),      # E
                                ot.Uniform(1.8e-3, 2.2e-3)]) # 板厚
X = ot.LHSExperiment(dist, 60).generate()
Y = run_fem_batch(X)                        # CAE批量执行（自行实现）

algo = ot.FunctionalChaosAlgorithm(X, Y, dist)  # 默认LARS+模型选择
algo.run()
result = algo.getResult()
sens = ot.FunctionalChaosSobolIndices(result)
print(sens.getSobolIndex(0), sens.getSobolIndex(1))  # Sobol'一阶指数

系数、活跃基、LOO误差都能从result对象取出——报告里务必附上活跃基数量与LOO误差。

前沿研究动态

与压缩感知的衔接

"从少量样本恢复稀疏系数"正是压缩感知本身：\( \ell_1 \) 最小化（Basis Pursuit）、OMP、贝叶斯压缩感知等恢复算法都已移植到PCE，样本需求的恢复保证理论（RIP等）也随之而来。跨算法的实证结论很一致：无论用哪个恢复引擎，夹在中间的"修正LOO模型选择"决定最终精度。

任意分布·相关输入的扩展（aPC·Copula）

实测数据很少服从干净的正态或均匀分布。由数据矩数值构造正交基的arbitrary PC（aPC）、用Copula表达相关结构再经Rosenblatt/Nataf变换独立化的框架已经成熟，让"分布理想化"可以作为单独的建模误差被切分出来。把分布估计自身的不确定度也纳入UQ的二阶分析同样是活跃课题。

不连续响应与多单元PCE

屈曲、接触、相变这类响应的不连续·陡峭过渡，从原理上让全局多项式收敛恶化（Gibbs现象）。把输入空间分块、逐块张低阶PCE的多单元gPC，以及检测不连续位置自适应分块的方法在推广中。实务上的信号是"提高阶数LOO也不再改善"——此时就该切换到ME-PCE或Kriging系。

故障排查

按症状的原因与对策

报告的最小必备集

相关文章：Morris法参数筛选、Kriging代理模型、贝叶斯标定。