稀疏多项式混沌展开与最小角回归
スパースPCEとLAR
理论与物理
概述
老师！今天要讲稀疏PCE和LAR对吧？它们是什么东西呢？
这是针对高维问题中PCE维度灾难的对策。通过最小角回归等稀疏回归方法，仅选择有效的项。
原来如此。那么只要在高维问题上处理得当，基本上就没问题了对吧？
控制方程
$$ Y \approx \sum_{\boldsymbol{\alpha}\in\mathcal{A}} c_{\boldsymbol{\alpha}}\Psi_{\boldsymbol{\alpha}}(\mathbf{X}) $$
$$ \hat{\boldsymbol{c}} = \arg\min\|\boldsymbol{\Psi c} - \mathbf{y}\|_2^2 + \lambda\|\boldsymbol{c}\|_1 $$
离散化方法
这个方程，在计算机上具体是怎么求解的呢？
要使用有限元法（FEM）进行空间离散化。组装单元刚度矩阵，构建整体刚度方程。
矩阵求解算法
矩阵求解算法，具体指的是什么呢？
通过直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（CG法、GMRES法）来求解线性方程组。对于大规模问题，带预处理的迭代法非常有效。
| 求解器 | 分类 | 内存使用量 | 适用规模 |
|---|---|---|---|
| LU分解 | 直接法 | O(n²) | 小～中规模 |
| Cholesky分解 | 直接法（对称正定） | O(n²) | 小～中规模 |
| PCG法 | 迭代法 | O(n) | 大规模 |
| GMRES法 | 迭代法 | O(n·m) | 大规模·非对称 |
| AMG预处理 | 预处理 | O(n) | 超大规模 |
也就是说，如果在有限元法这部分偷工减料，后面就会吃苦头对吧。我铭记在心！
商用工具中的实现
那么，要做稀疏PCE和LAR的话，可以用哪些软件呢？
| 工具名称 | 开发商/现状 | 主要文件格式 |
|---|---|---|
| MSC Nastran / NX Nastran | MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software） | .bdf, .dat, .f06, .op2, .pch |
| Abaqus FEA (SIMULIA) | Dassault Systèmes SIMULIA | .inp, .odb, .cae, .sta, .msg |
| Ansys Mechanical (原ANSYS Structural) | Ansys Inc. | .cdb, .rst, .db, .ans, .mac |
| Ansys Fluent | Ansys Inc. | .cas, .dat, .msh, .jou |
| Simcenter STAR-CCM+ | Siemens Digital Industries Software | .sim, .java, .csv |
| COMSOL Multiphysics | COMSOL AB | .mph |
| OpenFOAM | 开源（OpenCFD/ESI、OpenFOAM Foundation） | 字典文件（如blockMeshDict等）, .foam |
供应商谱系与产品整合历程
各个软件的诞生过程，是不是还挺有戏剧性的？
MSC Nastran / NX Nastran
接下来是MSC Nastran的内容对吧？具体讲什么呢？
于1960年代作为NASA结构分析（NASTRAN）开发。MSC Software将其商业化，后来UGS（现西门子）衍生出NX Nastran。MSC于2017年被Hexagon AB收购。
当前归属：MSC Nastran（Hexagon）、NX Nastran（Siemens Digital Industries Software）
Abaqus FEA (SIMULIA)
Abaqus FEA，具体指的是什么呢？
1978年由HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被达索系统收购，并整合到SIMULIA品牌下。
当前归属：Dassault Systèmes SIMULIA
等等等等，结构分析的话，也就是说这种案例也能用对吧？
Ansys Mechanical (原ANSYS Structural)
请讲讲「Ansys Mechanical」！
哦～，结构分析的话题，太有意思了！请再多讲一些。
文件格式与互操作性
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