放射パターン解析

アンテナからの電界強度の角度分布だよ。ざっくり言うと「どの方向にどれだけ電波が飛ぶか」を立体的に見せてくれる図だ。メインローブの方向と幅、サイドローブレベル、ヌル点の位置が一目でわかる。

甘い甘い。例えば衛星通信のパラボラアンテナでは、サイドローブレベルが $-30\,\text{dB}$ 以下を求められることがある。サイドローブが高いと隣接衛星への干渉を起こすし、軍用レーダーだとサイドローブから信号が漏れたらステルス性が台無しになる。FEM解析の精度が直接設計品質に影響するんだ。

主に4つの指標で議論する。遠方界電界 $\mathbf{E}(\theta,\phi)$、指向性 $D$、利得 $G$、半値幅 HPBW だ。順番に見ていこう。

遠方界（far field）の境界は、アンテナの最大寸法を $D_{\max}$、波長を $\lambda$ とすると

この距離よりも遠い領域では、電磁波は球面波に近づいて、$\mathbf{E}$ と $\mathbf{H}$ が $r$ に反比例し、互いに直交する。つまり波動インピーダンスが $\eta_0 \approx 377\,\Omega$ の均一な横波になるんだ。

アンテナ上の電流分布 $\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ から遠方界の電界を導くと、次のような形になる：

これを簡略化してパターン関数 $\mathbf{F}(\theta,\phi)$ で書くと

ポイントは、$\mathbf{F}(\theta,\phi)$ が電流分布のフーリエ変換に相当するということ。だからアレーアンテナのパターン合成は「空間周波数フィルタリング」と捉えることができる。

そのとおり。等振幅・等位相の一様分布だとメインローブが最も狭くなるけど、サイドローブが $-13.2\,\text{dB}$ までしか下がらない。テーラー分布やチェビシェフ分布で電流にテーパーをかけると、メインローブは少し広がるけどサイドローブを $-20$〜$-40\,\text{dB}$ まで抑えられるんだ。

そう。まず放射強度 $U(\theta,\phi)$ を定義する。これは単位立体角あたりの放射電力だ：

2番目の等号で $r$ が消えているのがポイント。遠方界では $U$ は距離に依存しない純粋な角度関数になる。そして指向性 $D$ は、等方放射体と比較した「ピーク方向への集中度」だ：

遠方界上の球面 $S$ でポインティングベクトルを数値積分する。HFSSなどの商用ソルバーでは、近傍界から遠方界変換（NFTF）した後、$(\theta,\phi)$ 格子上でシンプソン則やガウス求積で積分する。典型的には $\theta$ 方向 1° 刻み、$\phi$ 方向 1° 刻みで十分な精度が得られるよ。

利得 $G$ はアンテナの損失（導体損、誘電損、表面波損など）を含めた実際の性能指標だ。放射効率 $\eta$（$0 < \eta \leq 1$）を使って

例えば指向性 $D = 30\,\text{dBi}$ のパラボラアンテナでも、開口効率（イルミネーション効率 + スピルオーバー損 + 表面精度損 etc.）が $\eta = 0.55$（$-2.6\,\text{dB}$）なら、実利得は $G \approx 27.4\,\text{dBi}$ になる。

メインローブのピーク電力から $-3\,\text{dB}$ 低下した2点の角度差だ：

例えば半波長ダイポールアンテナのE面HPBWは約 $78°$。一方、20波長の開口アンテナだと $\text{HPBW} \approx 51\lambda/(D_{\max}) \approx 2.55°$ まで鋭くなる。ビームが鋭いほど指向性が高く、遠方のターゲットへエネルギーを集中できるんだ。

いくつか理由がある。まず干渉回避。衛星通信の ITU 規格（例: ITU-R S.580）ではサイドローブエンベロープが規定されていて、$G(\theta) \leq 32 - 25\log_{10}\theta$ [dBi] を超えると認証が通らない。次にクラッタ抑制。気象レーダーのサイドローブが地面クラッタを拾うと、降雨量推定の精度が大幅に劣化する。

ヌル点は放射電力がほぼゼロになる方向だ。ヌルステアリングという技術で、干渉源の方向にヌルを意図的に向けることで干渉を排除できる。5G基地局のMassive MIMOでは、人体方向にヌルを配置してSAR（比吸収率）を低減する技術も実用化されているよ。

大きく分けて3つの手法がある。それぞれ得意・不得意があるんだ：

実務的な選択基準はこうだ。パッチアンテナや導波管スロットアレーなど密閉領域を含む構造はFEM、ワイヤアンテナや金属板の散乱のように開領域で金属表面だけ離散化すれば済むケースはMoM、UWBや広帯域で一度の計算で全周波数特性がほしいときはFDTD。最近はハイブリッド手法（FEM-BIE、MLFMM加速MoM）も主流だよ。

基本的な考え方は同じだけど、解く対象がベクトルヘルムホルツ方程式になる：

ここで $k_0 = \omega/c$ は自由空間の波数、$Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$ は自由空間インピーダンスだ。FEMではこの弱形式を辺要素（Nédélec要素）で離散化する。辺要素は電界の接線成分の連続性を自動的に保証し、節点要素で問題になるスプリアスモード（非物理的な寄生解）を排除できるんだ。

ガレルキン法で離散化すると、最終的にこう書ける：

$[S]$ は curl-curl 行列、$[T]$ は質量行列、$\{b\}$ は励振源項。構造解析の $[K]\{u\}=\{F\}$ と形式は同じだけど、電磁場では行列が複素数かつ非正定値になるのが大きな違い。CG法は使えないから、GMRES や MINRES を使うことになる。

FEMが体積全体を要素分割するのに対し、MoMは金属表面上の電流分布だけを未知量にする。電界積分方程式（EFIE）は

$G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = e^{-jk_0|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}/(4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)$ は自由空間のグリーン関数だ。離散化にはRWG（Rao-Wilton-Glisson）基底関数を使う。MoMの強みは空気領域のメッシュが不要なこと。ダイポールやヤギ・ウダアンテナのような開放構造では圧倒的に効率がいい。ただし密行列になるので、大規模問題ではMLFMM（多重レベル高速多極子法）で $O(N\log N)$ まで加速するのが定石だ。

これは重要なポイントだ。FEMやFDTDでは計算領域を閉じた箱（ABC/PML境界で囲む）で解くから、直接は遠方界が得られない。そこで近傍界-遠方界変換（NFTF: Near-Field to Far-Field Transformation）を使う。アンテナを囲む仮想閉曲面 $S'$ 上で $\mathbf{E}$ と $\mathbf{H}$ を取得し、等価電流・等価磁流に変換してフーリエ積分する方法だ。

ここで $\mathbf{J}_s = \hat{n}\times\mathbf{H}$、$\mathbf{M}_s = -\hat{n}\times\mathbf{E}$ が等価電流・磁流だ。HFSSではこの変換が自動化されていて、ユーザーは "Radiation Boundary" を設定するだけでよい。

全然違う。構造解析では応力集中部を細かくすれば良かったけど、電磁場では波長で要素サイズが決まる。経験則として

放射パターン解析ではSパラメータと利得の両方をチェックするのが鉄則だ。Sパラメータが収束しても、利得（特にサイドローブ）がまだ動いていることがある。メッシュを倍にして利得が $0.3\,\text{dB}$ 以上変わったら要注意。最終的に $0.1\,\text{dB}$ 以内の変動に収めるのが目安だ。

ステップは大きく5段階だ：

ダメ、近すぎると近傍界の反応性成分が壁に反射して結果が狂う。ガイドラインは：

パターンの偏波成分が丸ごと反転する。例えばダイポールのE面カットで PEC/PMC を取り違えると、$E_\theta$ と $E_\phi$ が入れ替わってピーク方向が 90° ずれるんだ。初心者がやりがちなミスの筆頭だから、シンプルなダイポールモデルで正しくなることを確認してから複雑なモデルに進むのが安全策だよ。

重要なのは誘電体中の波長は短くなるということ。$\varepsilon_r = 10$ の基板上では波長が $1/\sqrt{10} \approx 0.316$ 倍になるから、メッシュも同じ比率で細かくしないといけない。ここを忘れるとパッチアンテナの共振周波数が数%ずれてしまうんだ。

段階的にやるのが実務のコツだ：

主要なツールを比較するとこうだ：

メインローブの利得は $0.2$〜$0.5\,\text{dB}$ 以内で合うのが普通だ。サイドローブは $1$〜$2\,\text{dB}$ ずれることもある。特に $-30\,\text{dB}$ 以下の低レベルサイドローブになると、メッシュ品質や境界条件の微妙な差が効いてくる。複数ツールで結果が合うことを確認するのがベストプラクティスだよ。

Massive MIMO は 64〜256 素子のアレーアンテナで、ビームを動的に成形（ビームフォーミング）する技術だ。放射パターン解析の課題は次の3点：

正直きつい。だから実務ではハイブリッドアプローチを使う。中央の数素子だけフルウェーブ（HFSS/CST）で解いてアクティブ素子パターンを取得し、それを配列の各位置に配置してアレーファクタと合成する。周辺素子のエッジ効果はサブアレー単位で補正。これで計算時間を 1/100 以下にできるんだ。

2つのアプローチが注目されている：

そう。E面対称で 1/2 モデルを使うと、ソルバーによっては $P_{\text{rad}}$ を半球分しか積分しないことがある。その場合、指向性が 2 倍（$+3\,\text{dB}$）になってしまう。HFSSは自動補正してくれるけど、COMSOLでは手動で 2 倍する必要があるから注意だ。

よく遭遇するものを挙げるよ：

Ansys HFSS:

CST Studio Suite: