収束 — CAE用語解説
収束（Convergence）
定義
CAEにおける収束は、(1) 反復法ソルバーの解の収束、(2) メッシュ細分化に伴う解の収束、(3) 非線形解析のNewton-Raphson法の収束の3つの文脈で使われる。
反復法ソルバーの収束
残差ノルム:
$$ \|\mathbf{r}^{(k)}\| = \|\mathbf{b} - \mathbf{A}\mathbf{x}^{(k)}\| < \varepsilon_{tol} $$
典型的な収束判定基準: $\varepsilon_{tol} = 10^{-6} \sim 10^{-10}$
Newton-Raphson法の収束
非線形方程式 $\mathbf{R}(\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ の反復解法:
$$ \mathbf{u}^{(k+1)} = \mathbf{u}^{(k)} - \mathbf{J}^{-1} \mathbf{R}(\mathbf{u}^{(k)}) $$
$\mathbf{J} = \frac{\partial \mathbf{R}}{\partial \mathbf{u}}$ はヤコビアン行列（接線剛性行列）。
収束判定: 力の残差ノルム、変位増分ノルム、エネルギーノルム。
メッシュ収束
離散化誤差がメッシュ細分化に伴い低減すること。h-法（要素サイズ縮小）、p-法（次数増加）、hp-法（両者の組合せ）。
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