Cauchy応力 — CAE用語解説

良い質問だ。最も根本的な違いは、「どの瞬間の、どの状態の断面」に定義されるかだ。「応力」は広い概念だが、Cauchy応力は「現在の変形状態における、単位面積あたりの力」を指す。具体的には、変形後の物体を仮想的に切り出し、その切り口（現在の面積）で定義される。式で書くと、微小面積ベクトル

その通り。例えばゴムを単軸引張りで元の長さの2倍まで伸ばしたとする。断面積はほぼ半分になる。内部の繊維が張る力が一定だとしても、力÷（小さくなった現在の面積）で計算するCauchy応力は、変形前の応力より約2倍大きくなる。これが「真応力（True Stress）」とも呼ばれる所以だ。金属の塑性加工シミュレーションでは、この真応力-真ひずみ曲線を材料データとして入力する。

変形前の初期断面積で定義するのは「第1Piola-Kirchhoff応力」だ。Cauchy応力が「空間記述」なら、こちらは「物質記述」の一種と言える。使い分けの鍵は、構成則（材料モデル）をどの座標系で定式化するかだ。多くの商用ソフトウェア（Abaqus/Standardなど）の超弾性や有限弾塑性解析では、計算の内部では物質記述の応力を使い、結果出力の際に分かりやすいCauchy応力に変換して表示している。

ほぼ正解だ。AbaqusやAnsys Mechanicalの標準的な静的解析、線形動解析の結果で「S」と表示される応力は、ほとんどがCauchy応力（またはそれと数値的に一致する工学応力）だ。ただし、大変形解析で「Cauchy」と明記されている出力を選択する必要がある場合もある。例えばAnsysの大変形設定（NLGEOM,ON）では、デフォルトの「Components and Principal」はCauchy応力を指す。

そう単純ではない。FEMソルバーはまず、変位解から変形勾配テンソル

金属の塑性変形では、体積変化は確かに小さい（非圧縮性とみなせる）。しかし、せん断変形が大きい場合、

大変形解析（幾何非線形）を行う場合に注意が必要だ。Abaqus/Standardで「NLGEOM=ON」を設定した場合、デフォルトで出力される「S」はCauchy応力だ。一方、Ansys Workbenchで「Large Deflection」をOnにした場合も、デフォルトの「Equivalent Stress」はCauchy応力ベースのミーゼス応力となる。確認すべきは、超弾性材料（ゴム）を使う場合で、メッシュのひずみが極端に大きいと、体積変化率Jの計算誤差がCauchy応力に影響する可能性がある。

その通り。降伏判定に使う「相当応力（ミーゼス応力）」は、Cauchy応力テンソルの偏差成分から計算される：

これが実務上の重要なポイントだ。引張試験機が出力する「公称応力」は、初期断面積で割った値だ。一方、ネックが発生するような大きな変形まで考慮するCAE解析には、「真応力（True Stress）＝Cauchy応力」の材料データが必要になる。例えば、JIS Z 2241やISO 6892-1に基づく試験データをCAE用に変換するには、

ある。まずAbaqus/CAEでは、大変形解析の結果ステップで、「S」がデフォルトでCauchy応力成分を表す。「Field Output」のリクエストで「STRESS」を選択すれば出力される。より明示的に「Cauchy」と表示される出力もある。Ansys Mechanicalでは、大変形をオンにした場合の「Normal Stress」や「Equivalent Stress」はCauchy応力ベースだ。詳細設定では「Results」→「Stress」の「Type」を確認できる。COMSOL Multiphysicsでは、「Solid Mechanics」インターフェースで「Stress」という物理場変数がデフォルトでCauchy応力テンソルを指す。出力名は「solid.s11」などとなる。

計算アルゴリズムの違いが現れる分野だ。体積変化率Jが1から大きく離れると、先ほどの変換式

CalculiX（Abaqus入力形式と互換性あり）では、大変形解析（\*STATIC, NLGEOM）の結果ファイル（.frd）に出力される「STRESS」は、ドキュメントによれば第2Piola-Kirchhoff応力の場合がある。Cauchy応力を得るには後処理で変換が必要かもしれない。一方、フランス発のCode_Asterでは、結果の概念が明確で、「SIEF_ELGA」（要素ガウス点応力）は「SIGM」という記号で表され、これはドキュメントに「contrainte de Cauchy」（Cauchy応力）と明記されている。オープンソースを使う際は、ドキュメントで応力の定義を必ず確認する必要がある。

非常にありがちな問題だ。考えられる原因は2つ。1つ目：材料データとして入力した降伏応力が「公称応力」の値なのに、解析で計算されているのが「Cauchy応力（真応力）」である場合。変形が大きいと、公称応力より真応力の方が大きくなるので、降伏判定をクリアできない。2つ目：大変形解析の設定自体が正しく有効になっていない。Ansysで「Large Deflection」をOffのままにしていたり、Abaqusで「NLGEOM」パラメータを忘れていたりすると、応力は線形理論に基づいて計算され、実際より過小評価される。まずはこれらの設定を確認せよ。

これは体積変化率Jが0に近づく（体積がほぼゼロになる）ことに起因する数値的特異性だ。Cauchy応力の式

これは高度な要求だが、主要ソフトは対応している。Abaqusでは、「ローカル材料方向」を定義し、大変形下でも方向が材料とともに回転するように設定できる（「Orientation」の「Additional rotation type」を指定）。結果出力時、そのローカル方向に対する応力成分をリクエストすればよい。Ansys APDLでは、「RSYS, SOLU」コマンドで結果座標系を「ソリューション座標系（つまり要素座標系）」に設定できる。Workbenchでは、「Coordinate Systems」で「Cylindrical」や「User Defined」を作成し、結果表示時に適用する。いずれにせよ、材料方向の更新アルゴリズム（共回転など）が正しく設定されているかが鍵だ。

バグではなく、幾何非線形の本質的な挙動だ。大変形が生じると、(1) 構造の剛性が変化し（例えば、薄板がたわむと面外剛性が上がる）、(2) 荷重の作用方向が変形に伴って変化し（追従荷重かどうか）、(3) 応力集中部の幾何形状そのものが変わる。このため、応力分布が線形解析の結果から大きく変化することは珍しくない。トラブルというより、線形解析が現実を単純化した近似でしかなかったことを示している。航空機のフラップや自動車のタイヤなど、変形が大きい部品の設計では、初期設計に線形解析を使い、詳細検証で必ず非線形大変形解析を行うのが業界の標準手順だ。