Tresca応力 — CAE用語解説

良い質問だ。Tresca応力は、材料の降伏を予測するための「最大せん断応力説」に基づく等価応力だ。物理的には、材料内部の任意の面で働くせん断応力の最大値に直接関係している。例えば、引張試験では、材料は最大せん断応力面で45度方向にすべり変形を起こす。Tresca応力

確かに直感的ではないが、Trescaの基準は「最大せん断応力」のみに着目するからだ。せん断応力の大きさは、主応力のペアの差で決まる。3つの主応力からは、

根本的な違いは、降伏の物理的メカニズムに対する仮説だ。Trescaは「最大せん断応力」、von Misesは「せん断ひずみエネルギー」が原因と考える。実用的には、Trescaの降伏曲面は六角柱、von Misesのは円柱で近似される。Trescaはより保守的（安全側）な予測をすることが多く、特に延性金属でもせん断支配の破壊が懸念される場合や、規格（例えば一部の圧力容器規格）で指定されている場合に使われる。計算コストもTrescaの方がわずかに低い。

内部的な手順はこうだ。まず、コーシー応力テンソル

それは重要な指摘で、実際に起こり得る。例えば、ほぼ等方的な圧縮状態（静水圧に近い）では、3つの主応力は非常に近い値になる。数値誤差の範囲内で順序が不安定になると、Tresca応力の値が計算ステップ間で微小に振動することがある。商用ソルバーは、このような場合に備えて、比較演算に微小な許容誤差（例えば1.0e-12）を導入していることが多い。しかし、ポスト処理で応力コンターを見た時に、ごく微小なまだら模様が出る原因の一つになり得る。

その通り、降伏関数として使われる。例えば、材料モデルに「Tresca降伏条件」を選択した場合、ソルバーは各積分点で毎ステップ、計算したTresca応力が単軸降伏応力を超えていないかチェックする。超えていれば、応力は降伏曲面に戻される（射影される）。この戻し操作は、von Misesを使う場合よりも計算が若干複雑になる。なぜなら、Trescaの降伏曲面は角（コーナー）を持っているからだ。角の領域では流れ則の方向が一意に定まらないため、特別なアルゴリズム（コーナー処理）が必要になる。Ansysの`TB, TRESCA`コマンドなどで指定できる。

いくつか典型的なケースがある。第一は、圧力容器や配管の設計だ。ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section VIII, Division 2 では、特定の評価経路に沿って「応力強度」を計算するが、これは実質的にTresca応力（最大主応力と最小主応力の差）のことを指している。第二は、金属の塑性加工（鍛造、押出し）の解析で、せん断変形が支配的となるため、Tresca基準が材料の流動をより正確に表現できる場合がある。第三は、地盤や岩盤のせん断破壊解析だ。

いや、それほど単純ではない。ASME Sec. VIII Div.2の「設計-by-analysis」では、まず一次、二次、峰值応力に分類する。一次一般膜応力

最大の注意点は、「応力集中部」の解釈だ。鋭いノッチ根部では、非常に高いTresca応力が計算されるが、それは局所的な多軸応力状態を反映している。Trescaもvon Misesも、そのままの値で延性材料の静強度を評価するには適さない場合がある。その場合は「構造応力」や「ノッチ応力」の概念を用いる必要がある。もう一点は、接触面での結果だ。接触圧と摩擦によるせん断が組み合わさり、複雑な主応力状態になる。Tresca応力コンターが接触エッジで不連続に見えることがあるが、それはメッシュ依存性や数値微分の影響かもしれないので、メッシュ感度調査が必須だ。

それぞれ癖がある。まず**Ansys Mechanical**では、Solutionブランチで「Stress」→「Stress Intensity」を追加する。デフォルトの「Stress Intensity」は実はTresca応力だ。von Misesは「Equivalent Stress」という別の項目になる。結果ブラウザで確認できる変数名は`SINT`。**Abaqus/CAE**では、Visualizationモジュールで「Result」→「Field Output」を開き、`TRESC`を選択する。または、プロットごとに「Primary Variable」ダイアログから`S: TRESC`を選ぶ。**COMSOL Multiphysics**では、デフォルトの「von Mises stress」コンポーネントはあるが、Trescaはない。「Definitions」で「Maximum Shear Stress」変数（これは

歴史的経緯と、先ほど話したASME規格の用語が影響している。「Stress Intensity」はASME規格で定義される用語であり、Ansysは特に圧力容器業界からの要望に応えて、この名前を採用したのだ。そのため、Ansysのドキュメントを注意深く読むと、「Stress Intensity (Tresca)」と明記されている。ユーザーはこの事実を知らないと、自分がvon Misesを見ているのかTrescaを見ているのか混乱する。常に変数名（`SINT` vs `EQV`）で確認する癖をつけるべきだ。

可能だが、ソフトごとに実装状況が異なる。**Abaqus**では最も充実しており、`*PLASTIC`オプションで`HARDENING=TRESCA`を指定できる。**Ansys APDL**では、`TB, TRESCA`コマンドでアクティベートできる。しかし、**Ansys Workbench**のGUI（Engineering Data）では、標準の材料ライブラリにTrescaモデルは用意されておらず、ユーザーがAPDLコマンドを挿入する必要がある場合が多い。**COMSOL**の「塑性」材料モデルインターフェースでは、降伏条件として「Tresca」を直接選択できるオプションがある。いずれにせよ、双曲線などの硬化則を組み合わせる設定は、von Misesの場合より注意が必要だ。

多くの場合、数値的な問題の兆候だ。特に「スパイク」が1〜2要素だけに現れる場合は疑うべきである。原因の第一は、主応力のソート不安定性だ。角部では応力テンソル成分が急激に変化し、隣接する積分点で

収束悪化の最大の原因は、先ほども触れた降伏曲面の「角」だ。応力点がこの角の領域にある（または通過する）場合、塑性流れの方向（塑性ポテンシャルの勾配）が一意に定まらず、ソルバーの反復計算が振動したり、小さな増分ステップを強制されたりする。具体的には、ほぼ等方的な応力状態（静水圧が支配的）からせん断が加わるような負荷履歴で発生しやすい。対策としては、1. 増分ステップをさらに細かくする（Abaqusの`*STATIC`で`INITIAL=1e-5`など）、2. ソルバーの収束許容値を少し緩和する（ただし注意）、3. 現実的には、角を丸めた「平滑化Tresca基準」をユーザーサブルーチンで実装する方法がある。商用ソルバー内部でも、微小な丸め処理を施している場合がある。

これはCAE初心者が必ずぶつかる壁だ。主に3つの理由がある。第一は「応力集中の局所性」で、非常に小さな領域での超過は、周囲の弾性域が拘束するため実際の降伏や破壊には至らない（塑性域閉じ込め）。第二は「多軸応力状態の影響」で、Trescaもvon Misesも等価応力はあくまで「単軸応力状態に換算した」値だ。実際には静水圧成分が高いと、せん断降伏応力自体が上昇する材料もある。第三で最も重要なのは、「設計評価の考え方」だ。実務では、線形静解析のピーク応力は、疲労評価や弾塑性解析の入力として使うのが一般的で、それ自体を単純な許容値と比較することはない。例えば、自動車業界のボディ剛性解析では、Tresca応力が400MPaを超える部位があっても、それが継続する箇所でなければ「検討対象外」とされることがある。常に解析の目的と評価基準をセットで考える必要がある。