Piola-Kirchhoff応力 — CAE用語解説
Piola-Kirchhoff応力
大変形解析の応力表現
応力って普通はCauchyの応力テンソルって習うんですが、Piola-Kirchhoff応力って別物なんですか？
Cauchy応力は変形後（現在の配置）の面積と力で定義される真の応力だけど、大変形解析では変形前（初期配置）を基準にした応力表現が必要になる。それがPiola-Kirchhoff応力で、第1種と第2種がある。材料モデルの記述や数値計算で重要な役割を果たすよ。
第1種と第2種って何が違うんですか？
第1種（PK1）は変形後の力を変形前の面積で割ったもので、非対称テンソルになる。第2種（PK2）は引き戻し操作で完全に変形前配置に落とした対称テンソルで、超弾性材料の構成則（ひずみエネルギー密度関数）と相性がいい。FEMの大変形解析では主にPK2が使われる。
構成則との接続
実際のCAEソルバーではどの応力が出力されるんですか？
ABAQUS、ANSYS等の商用コードでは通常Cauchy応力（変形後配置の真の応力）が出力される。内部計算ではPK2を使っていても、ポスト処理で押し出し変換してCauchyに戻している。ゴムや生体組織の超弾性解析でユーザー定義材料（UMAT）を書く場合は、PK2応力で材料則を記述する必要がある。
Green-Lagrangeひずみとペアで使われると聞いたんですが？
そう、共役ペアという概念があって、PK2応力とGreen-Lagrangeひずみは仮想仕事の意味で整合性がある（エネルギー共役）。CauchyはEulerian（空間）、PK2はLagrangian（材料）の表現で、有限変形理論の理解の核心部分だよ。超弾性や弾塑性の大変形解析を正確に理解するためには避けて通れない概念だ。
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