き裂進展 (Crack Propagation) — CAE用語解説

一気に壊れるのは脆性破壊や不安定破壊と呼ばれるものだ。き裂進展は、繰返し荷重（疲労）や環境因子（腐食、クリープなど）によって、材料中の微小なき裂がじわじわと成長していく現象のことだよ。

例えば航空機の胴体は、飛行ごとに与圧と減圧のサイクルを受ける。リベット穴のような応力集中部から疲労き裂が発生して、何千サイクルもかけてゆっくり伸びていく。ある臨界長さを超えると一気に不安定破壊に至る。だから「き裂がどのくらいの速さで伸びるか」を予測して、検査間隔を決めるのが損傷許容設計（Damage Tolerance Design）の基本だ。橋梁の鉄骨、圧力容器、タービンブレードなんかも同じ考え方を使う。

最も有名なのがParis則（パリ則）だ。1963年にParisとErdoganが提唱した経験則で、こう書く：

CT試験片（Compact Tension）やCCT試験片（Center-Cracked Tension）を使った疲労き裂進展試験で決める。ASTM E647が標準的な試験規格だ。$\Delta K$ と $da/dN$ を両対数プロットすると、中間領域がきれいな直線になる。その傾きが $m$、切片から $C$ が求まる。

そう、実際の $da/dN$ vs $\Delta K$ カーブはS字型（シグモイド型）になる。低ΔK側には下限界応力拡大係数範囲 $\Delta K_{\text{th}}$があって、これ以下だとき裂はほぼ進展しない。高ΔK側では $K_{\max}$ が破壊靱性 $K_{IC}$ に近づいて急速に不安定破壊に向かう。Paris則はこの中間の安定進展領域（Region II）を記述しているんだ。

基本形はこれだ：

Paris則を積分する。初期き裂長さ $a_0$ から臨界き裂長さ $a_c$（$K_{\max} = K_{IC}$ になる長さ）までの繰返し数がわかる：

通常のFEMだと、き裂の経路に沿ってメッシュを切り直す（リメッシング）必要がある。き裂が伸びるたびにメッシュを更新するから、とにかく手間がかかる。XFEM（eXtended FEM）は、既存のメッシュにエンリッチメント関数を追加することで、メッシュに依存しないき裂表現ができるんだ。

2種類ある。まずHeaviside関数 $H(\mathbf{x})$——き裂面をまたぐ節点に追加して、変位の不連続（き裂の開口）を表現する。次にき裂先端エンリッチメント関数——$\sqrt{r}\sin(\theta/2)$ のような特異場関数で、き裂先端の応力特異性（$1/\sqrt{r}$）を正確に捕捉する。数式で書くと：

AbaqusにはXFEMが標準実装されていて、き裂の発生判定（最大主応力基準など）と進展方向（最大接線応力基準など）を指定できる。Ansys MechanicalにもSMART crack growth機能がある。ただし、3次元の複雑なき裂経路だとまだ収束性の問題が出ることがあって、実務ではCohesive Zone Modelと使い分けるケースが多い。

CZMはき裂面にトラクション-分離則（Traction-Separation Law, TSL）を設定する手法だ。XFEMが「き裂がどこを通るかわからない場合」に強いのに対して、CZMは「き裂経路がだいたいわかっている場合」——たとえば接着層の剥離、複合材の層間剥離、溶接接合部の破壊——に特に有効なんだ。

いちばんよく使われるのはバイリニア型（三角形）だ。分離変位 $\delta$ が増えると、まずトラクション $T$ が線形に増加して臨界トラクション $\sigma_c$ に達する。そこからは軟化して、最終分離変位 $\delta_f$ でゼロになる。三角形の面積が破壊エネルギー $G_c$ に対応する：

そこがCZMの大きな利点だ。初期き裂がなくても、トラクションが $\sigma_c$ を超えた時点でダメージが始まり、き裂の発生から進展まで統一的に扱える。XFEMだと初期き裂の位置を指定するか、発生判定基準を別途定義する必要があるからね。CFRP積層板の層間剥離なんかは、CZMがデファクトスタンダードになっている。

いくつか挙げるとこんな感じだ：

あるよ！ Paris則き裂進展シミュレーターを使えば、$C$, $m$, 初期き裂長さ、荷重条件を入力して、き裂長さの時間変化と残余寿命をインタラクティブに計算できる。自分の材料パラメータを入れて試してみるといい。