カーブフィッティング (Curve Fitting) — CAE用語解説
カーブフィッティングとは
定義と基本原理
カーブフィッティングって、CAEだとどういう場面で使うんですか？ グラフに線を引くだけの話じゃないですよね？
一番多いのは材料パラメータの同定だね。引張試験や圧縮試験で得られた応力-ひずみデータから、構成則（材料モデル）のパラメータを決める作業。例えばゴム材料のシール部品を解析したいとき、Mooney-Rivlinモデルの $C_{10}$, $C_{01}$ を試験データにフィッティングして求めるんだ。試験データなしにCAEは成り立たないから、カーブフィッティングは解析の入り口みたいなものだよ。
なるほど、試験データとモデル式をつなぐ橋渡しなんですね。ざっくり言うと、どういう手順でやるんですか？
基本的には3ステップだ。(1) 数式モデルを選ぶ（例：Mooney-Rivlin、Ogden、Arruda-Boyce など）、(2) そのモデルの未知パラメータを、試験データとの誤差が最小になるように最適化する、(3) フィッティング結果を検証して妥当性を確認する。この「誤差を最小にする」部分で使われるのが最小二乗法だ。
最小二乗法の数学的基礎
最小二乗法ってよく聞くんですけど、ざっくりどういう仕組みですか？
実測値 $y_i$ と数式モデルの予測値 $f(x_i; \boldsymbol{\theta})$ の差（残差）を二乗して全データ点について合計し、その合計が最小になるようにパラメータ $\boldsymbol{\theta}$ を調整する方法だ。数式で書くとこうなる：
$$S(\boldsymbol{\theta}) = \sum_{i=1}^{N} \left[ y_i - f(x_i; \boldsymbol{\theta}) \right]^2 \to \min$$
二乗するのは、プラスとマイナスの残差が相殺しないようにするためだよ。
線形の場合は解析的に解けるって聞いたことがあるんですけど、CAEの材料フィッティングだとどうなんですか？
線形モデル、たとえば $f = a + bx$ なら正規方程式で一発で解ける。でもCAEで使う材料モデルはほとんどが非線形だから、非線形最小二乗法を使う。代表的なのはLevenberg-Marquardt法で、勾配降下法とGauss-Newton法のいいとこ取りをしたアルゴリズムだ。Abaqusの材料キャリブレーション機能や、Ansysの「Curve Fitting」ツールも内部でこれを使っていることが多い。
材料パラメータ同定への応用
Mooney-Rivlinモデルのフィッティングって、具体的にはどうやるんですか？
Mooney-Rivlinモデルのひずみエネルギー密度関数は：
$$W = C_{10}(I_1 - 3) + C_{01}(I_2 - 3)$$
ここで $I_1$, $I_2$ は右Cauchy-Green変形テンソルの不変量だ。単軸引張の場合、伸び比 $\lambda$ を使うと公称応力は：
$$\sigma_{\text{eng}} = 2\left(\lambda - \frac{1}{\lambda^2}\right)\left(C_{10} + \frac{C_{01}}{\lambda}\right)$$
この式を試験データの $(\lambda_i, \sigma_i)$ にフィッティングして $C_{10}$, $C_{01}$ を求めるわけだ。例えばシリコーンゴムだと $C_{10} \approx 0.2$ MPa、$C_{01} \approx 0.05$ MPa あたりになることが多いね。
単軸引張のデータだけでフィッティングすれば十分ですか？
それが最もよくあるトラップなんだ。単軸引張データだけでフィッティングすると、等二軸引張や純せん断の挙動が全然合わないことがある。実際の部品は複雑な多軸応力状態にさらされるから、最低でも2種類（単軸引張＋等二軸 or 純せん断）のデータを同時にフィッティングするのが鉄則だよ。自動車のエンジンマウントの解析で、単軸データだけのモデルを使って剛性が30%もずれた事例を見たことがある。
Mooney-Rivlin以外にも超弾性モデルっていろいろありますよね。どう使い分けるんですか？
ざっくり言うと、ひずみ範囲で使い分ける。Mooney-Rivlinは中程度のひずみ（～150%くらい）に向いている。大ひずみ（300%以上）だとOgdenモデルが強いし、分子鎖の伸びきりを表現したいならArruda-Boyceモデルだ。実務では全候補でフィッティングして、$R^2$ が高くて残差の偏りが少ないものを選ぶのが定石だね。ソルバー内蔵のキャリブレーション機能を使えば、複数モデルの比較が一発でできるよ。
フィッティング品質の評価
フィッティングの良し悪しはどうやって判断するんですか？ $R^2$ だけ見ればいいですか？
$R^2$（決定係数）が1に近いかは基本だけど、それだけじゃ不十分だ。大事なのは3つ。まず残差プロット——残差がランダムに散らばっているか、系統的な偏り（U字型パターンなど）がないか確認する。次に外挿の妥当性——フィッティングした範囲の外で、応力が負になったり発散したりしないか。超弾性モデルだとDrucker安定条件を満たすかもチェックする。最後にパラメータの物理的妥当性——例えば $C_{10}$ が負になったら、それは物理的に変だから使えない。
試験データにノイズが多い場合って、どうすればいいですか？ そのままフィッティングしちゃっていいんですか？
ノイズの多いデータをそのまま高次モデルでフィッティングすると、過適合（オーバーフィッティング）が起きる。データ点は完璧に通るけど、カーブがガタガタに振動して物理的に意味がなくなるんだ。対策としては、(1) データの平滑化（移動平均やSavitzky-Golayフィルタ）、(2) モデルの次数を下げる、(3) 正則化項を加える、あたりが実務的だね。あと、試験データそのものの品質が一番大事——試験片の準備や計測環境を見直すのが根本的な解決策だよ。
金属材料の塑性モデル、例えばJohnson-Cookモデルもカーブフィッティングで決めるんですか？
その通り。Johnson-Cookモデルは：
$$\sigma = \left(A + B\varepsilon_p^n\right)\left(1 + C\ln\dot{\varepsilon}^*\right)\left(1 - T^{*m}\right)$$
5つのパラメータ $A, B, n, C, m$ を同定する必要がある。まず準静的引張試験で $A, B, n$ をフィッティングして、次に異なるひずみ速度の試験で $C$ を、高温試験で $m$ を決めるという段階的なアプローチが標準だ。衝突解析やプレス成形解析では、このキャリブレーションの精度が結果を大きく左右するから、手を抜けない工程だよ。
関連用語
- 最小二乗法 (Least Squares Method): 残差の二乗和を最小化してパラメータを推定する最も基本的な手法
- Levenberg-Marquardt法: 非線形最小二乗問題を効率的に解く反復アルゴリズム
- 超弾性モデル (Hyperelastic Model): ゴム・エラストマーなどの大変形挙動を記述する構成則
- パラメータ同定 (Parameter Identification): 試験データから材料モデルの定数を決定するプロセス全般
- 決定係数 $R^2$: フィッティングの適合度を0〜1で表す統計指標
- 過適合 (Overfitting): データへの当てはまりは良いが、汎化性能が低い状態
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