FMM — CAE用語解説

FMMはRokhlinとGreengardが1987年に提案した手法で、N体問題（N個の粒子間の相互作用の計算）を通常のO(N^2)からO(N log N)またはO(N)に高速化するアルゴリズムだ。基本的な考え方は「遠くにある粒子グループの影響は多重極展開で近似的にまとめて計算できる」というもので、電磁界解析の境界要素法（BEM）やMoMの高速化、分子動力学の長距離クーロン力の計算（Ewald法の代替）に使われる。アンテナの電磁散乱問題や音響のBEM解析で要素数が数十万〜百万になる大規模問題で、通常のO(N^2)コストでは計算不可能な問題をFMM-BEMで解けるようになったんだ。

RCS（レーダー断面積）計算が典型的な適用例だ。航空機や艦船の電磁散乱を計算するとき、表面を数十万〜数百万の三角形要素でメッシュ分割してMoM行列方程式を解く必要がある。通常のMoMはN×N密行列で直接解法はO(N^3)、FMMと反復法を組み合わせると1反復O(N log N)に下がる。NASAのNEC（Numerical Electromagnetics Code）やFEKO（現Altair）がFMM-MoMを実装していて、ステルス航空機のRCS低減設計や電磁波吸収体の評価に使われているよ。音響解析でも建物外壁の音響散乱や騒音バリアの透過損失計算でBEM-FMMが使われる。