熱伝導方程式 — CAE用語解説

これは、熱流束の発散、つまり「ある微小体積に流入する熱量と流出する熱量の差」を計算しています。例えば、x方向だけを考えた1次元の定常状態では、

はい。例えば、炭素鋼（S45C）では、室温（20°C）で約50 W/(m·K)ですが、500°Cでは約40 W/(m·K)と約20%低下します。一方、純銅は温度上昇とともに低下し、20°Cで約400 W/(m·K)、500°Cで約350 W/(m·K)です。この依存性を無視すると、例えばブレーキディスクの過熱解析で、実際より高い温度を予測してしまう可能性があります。材料ライブラリであるJISハンドブックや、ソフトウェア内蔵の材料データ（Ansys Granta、CES Selectorなど）で確認できます。

鋭い質問です。固体では体積変化が小さく、定積比熱

時間積分の「どの時点の値を使うか」が根本的な違いです。陰解法（例：後退差分法）は、求めようとしている新しい時間ステップn+1の温度を使って方程式を立てます。式で書くと、

材料の熱拡散率αと要素サイズΔxで決まる、安定条件（CFL条件）に縛られます。おおよそ、

問題の規模とマトリックスの性質によります。直接法（例：スパース直接ソルバー、PARDISO）は、数値的にロバストで、条件数が悪い問題（材料の熱伝導率が極端に異なるなど）でも安定して解けますが、メモリ消費が大きい。目安として、自由度が50万以下の中規模問題に向きます。反復法（例：前処理付き共役勾配法、PCG）は大規模問題（自由度100万以上）でメモリ効率が良いですが、収束性がマトリックスに依存します。Ansysでは、デフォルトでPCGが使われ、収束しない場合に直接法に切り替えることが推奨されています。

それは設計段階と検証段階で大きく異なります。初期設計では、経験則や規格値を使います。例えば、電子機器筐体の自然対流熱伝達率は、概算で3〜10 W/(m²·K)、強制空冷では20〜100 W/(m²·K)の範囲で仮置きします。熱流束は、発熱体の仕様から計算。例えば、抵抗で10Wの発熱が、面積2cm²に集中するなら、

過渡解析では特に重要です。時間tの間に熱が拡散するおおよその距離Lは、

「エネルギー収支」です。入力された全発熱量（Q_total）と、境界から出ていく全熱量（対流や放射、指定熱流束の合計）が、定常解析では釣り合い（誤差1%以内）、過渡解析では内部エネルギーの変化分と一致しているかを確認します。Ansysの「Heat Flux」プローブや、Abaqusの「History Output」で確認可能です。これが大きくずれている場合、境界条件の設定漏れ（例えば、デフォルトで断熱になっている面がある）や、材料物性の単位系ミスが疑われます。

基本的なアルゴリズム（有限要素法による陰解法）は同じですが、強みが分かれます。Ansys Mechanicalは、ワークフローが非常に整理されており、熱伝達率を自動計算する「Thermal Condition」機能（簡易CFD）が強力です。Abaqusは、複雑な接触熱抵抗（ギャップ熱伝導）の定義に優れ、ユーザーサブルーチン（DFLUX, FILM）による柔軟な境界条件設定が可能です。COMSOLは、「係数形式PDE」インターフェースで、熱伝導方程式自体をユーザーが直接編集でき、標準的なフォームに当てはまらない特殊な問題（非フーリエ伝導など）の研究開発に向いています。

Ansysでは「Contact」ツールボックス内の「Thermal」タブで、「Thermal Conductance」を直接入力（単位: W/(m²·K)）するか、ギャップ依存性をテーブル入力します。Abaqusでは「Interaction」モジュールで「Gap Conductance」を定義し、「Clearance-dependent」や「Pressure-dependent」を詳細に設定できます。COMSOLでは「熱接触」フィーチャーを追加し、「熱抵抗」または「熱コンダクタンス」を定義します。実務では、代表値として、金属同士の摺動面で1,000〜10,000 W/(m²·K)、ボルト締結面で2,000〜5,000 W/(m²·K)程度を初期値として用いることが多いです。

CalculiX（CCX）はAbaqusと類似の入力形式で、基本的な線形・非線形熱伝導解析が可能です。しかし、GUI（前処理）が弱く、SalomeやPrePoMaxなどの別ソフトが必要で、収束性の悪い問題に対するソルバーのロバスト性や、複雑な接触熱抵抗の設定は有償ソフトに劣ります。OpenFOAMの`chtMultiRegionFoam`などは流体伝熱連成が本領で、純粋固体熱伝導にはオーバースペックです。最大の制約は、材料データベースや検証済みのテンプレートがなく、全ての物性値と境界条件をユーザーが責任を持って設定・検証しなければならない点です。

これは、ソルバーが収束せず、自動で時間ステップΔtを小さくしていった結果、最小許容ステップ（デフォルトで1e-10秒など）を下回った時に出るエラーです。主な原因は2つ。1つは、物性値（特に熱伝導率k）の温度依存性のテーブルデータが粗すぎて、ステップ間で物性が不連続にジャンプし、収束しなくなる場合。対策は、テーブルデータの点を増やすか、スプライン補間を適用します。もう1つは、急激な境界条件変化。例えば、0秒で突然10,000W/m²の熱流束を加えると、温度が瞬間的に跳ぶ。対策は、ステップ関数ではなく、0.001秒かけて線形に増加させるなど、現実的な載荷経過を定義します。

最も多いのは「断熱境界条件のデフォルト設定」です。現実では、全ての外部表面は何らかの対流や放射で環境と熱交換しています。ソフトウェアは明示的に条件を与えない面を「断熱」とみなすため、熱の逃げ場がなく、内部に熱が溜まり続け、全体の温度が上昇します。対策は、モデルの外表面全体に、現実的な熱伝達率（例えば自然対流で5 W/(m²·K)）を適用することです。逆に、あり得ないほど低い場合は、意図せず大きな熱伝達率が設定されていたり、熱源の定義（発熱量や面積）が間違っている可能性があります。

放射は温度の4乗に比例する強非線形項

それは「メッシュの非適合」が原因です。異なる材料パートのメッシュが界面で節点を共有しておらず、要素同士が重なっているだけの状態です。この場合、熱流束の連続性が弱形式でしか強制されず、温度場に不連続が生じ得ます。対策は、前処理で「メッシュ適合化」または「接触設定」を正しく行うことです。Ansysでは「Form New Part」や「Share Topology」、Abaqusでは「Tie」拘束、COMSOLでは「一致」メッシュを形成する「形成アセンブリ」を使用します。これにより、界面で節点が共有され、温度連続性が保証されます。