ILU — CAE用語解説
ILU
先生、CFDの反復法ソルバーで「前処理にILU(0)を使用」って設定があるんですけど、ILUって何をしてるんですか？
定義
ILUの基本を教えてください。
Incomplete LU分解（不完全LU分解）の略だよ。通常のLU分解は行列Aを下三角行列Lと上三角行列Uの積に完全に分解するけど、大規模な疎行列だとフィルイン（元々ゼロだった場所に非ゼロ成分が発生すること）が膨大になってメモリが足りなくなる。ILUはフィルインを制限して近似的にLU分解するんだ。
ILU(0)の「0」は何を意味してるんですか？
フィルインレベルだよ。ILU(0)はフィルインを一切許さない、つまり元の行列Aと同じ疎パターンでLUを近似する。ILU(1)だと1段階のフィルインまで許容する。レベルを上げるほど近似精度は良くなって反復回数は減るけど、メモリと前処理の計算時間が増える。この精度とコストのトレードオフがILUのキモだね。
数値解法における役割
実務ではILUのレベルをどう選ぶんですか？
CFDの圧力方程式みたいな条件数の悪い問題ではILU(1)やILU(2)が必要になることが多い。一方、運動量方程式のように比較的おとなしい系ではILU(0)で十分な場合も多い。Fluentだとデフォルトの設定で自動選択されるけど、収束が遅いときはレベルを上げてみるといいよ。
ILU以外の前処理もあるんですか？
もちろん。ヤコビ前処理やSOR前処理はILUより軽量だけど効果が弱い。AMG（代数的マルチグリッド）は並列効率が高くて大規模問題向き。問題のサイズや特性に応じて使い分けるのが大事だよ。
関連用語
ILU周辺の関連用語を教えてください。
この5つを押さえておくと体系的に理解できるよ。
今の解析で収束が遅いケースがあるので、ILUのレベルを変えて試してみます！
いいね。残差の収束履歴をプロットしながらレベルを変えると、前処理の効果が定量的にわかるよ。
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