Krylov部分空間法 — CAE用語解説

クリロフ部分空間は、行列AとベクトルbからK_m={b, Ab, A²b, ..., A^(m-1)b}で生成される部分空間だ。CG法やGMRES法はこの部分空間の中で近似解を探索する方法で、大規模疎行列の連立方程式に非常に効率的なんだよ。

Abという行列とベクトルの掛け算だけで次元を1つ増やせるから、行列を分解（LU分解など）する必要がない。疎行列の行列-ベクトル積は非常に高速にできるので、メモリも計算時間も節約できるんだ。

CG法（共役勾配法）は対称正定値行列限定だけど収束が速い。GMRES法は一般の非対称行列にも使える汎用型。構造解析の剛性行列は対称正定値だからCG法、流体のNavier-Stokes方程式の離散行列は非対称だからGMRES法、という使い分けが典型だよ。

前処理なしのCG法は収束が遅くて実用にならないことが多い。不完全コレスキー分解（ICCG法）やマルチグリッド前処理を組み合わせて初めて実用的な性能が出る。前処理の良し悪しが反復回数を10倍以上変えることもあるよ。

• CG法
• GMRES法
• BiCGSTAB法

大規模問題（数百万自由度以上）では事実上クリロフ法一択。前処理とセットで理解しておこう。